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《利用導數(shù)設計研究存在性及任意性》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在應用文檔-天天文庫。
1、范文范例指導參考利用導數(shù)研究存在性與任意性1．對，都有令，則；，都有；，都有；．2．，使得，則；，使得；，都有；．3．，，使得；，，使得；，，使得且．21.（12分）已知函數(shù)是的一個極值點.（1）若是的唯一極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）討論的單調性；（3）若存在正數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.21.（1），是極值點，故，是唯一的極值點恒成立或恒成立由恒成立得，又由恒成立得，而不存在最小值，不可能恒成立.………………4分（2）由（1）知，當時，，；，.在遞減，在上遞增.學習資料整理范文范例指導參考當時，，；，；，.在、上遞增，在上遞減。當時，在、上遞增，在遞減。時，在上遞增.…………
2、……8分（3）當時，，滿足題意；當時，，滿足題意；當時，由（2）知需或，[來源:學?？啤＞W(wǎng)Z。X。X。K]當時，，而，故存在使得，這樣時的值域為從而可知滿足題意當時，得或者解得；當時，可得滿足題意.的取值范圍或.………………12分例1．已知函數(shù)f(x)＝(ax2－x＋a)ex，g(x)＝blnx－x(b＞0)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)當a＝時，若對任意x1∈(0,2)，存在x2∈1,2]，使f(x1)＋g(x2)≥0成立，求實數(shù)b的取值范圍．解：(1)由題意得f′(x)＝(x＋1)(ax＋a－1)ex．當a＝0時，f′(x)＝－(x＋1)ex，當x∈(－∞，－1)時，
3、f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上單調遞增；當x∈(－1，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減．當a≠0時，令f′(x)＝0，則x＝－1或x＝－1＋，學習資料整理范文范例指導參考當a＞0時，因為－1＋＞－1，所以f(x)在(－∞，－1)和上單調遞增，在上單調遞減；當a＜0時，因為－1＋＜－1，所以f(x)在和(－1，＋∞)上單調遞減，在上單調遞增．(2)由(1)知當a＝時，f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,2)上單調遞增，因此f(x)在(0,2)上的最小值為f(1)＝0．由題意知，對任意x1∈(0,2)，存在x2∈1,2]，使g(x2)≥－f(
4、x1)成立，因為－f(x1)]max＝0，所以blnx2－x2≥0，即b≥．令h(x)＝，x∈1,2]，則h′(x)＝＜0，因此h(x)min＝h(2)＝，所以b≥，即實數(shù)b的取值范圍是．例2．(2017·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2－a＋2(a∈R，a為常數(shù))(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)若存在x0∈(0,1]，使得對任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋f(x0)＞0(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))都成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，學習資料整理范文范例指導參考f′(x)＝－2ax＝，當a≤0時，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(
5、x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增；當a＞0時，由f′(x)≥0且x＞0，解得0＜x≤，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．(2)由(1)知，當a∈(－2,0]時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調遞增，所以x∈(0,1]時，函數(shù)f(x)的最大值是f(1)＝2－2a，對任意的a∈(－2,0]，都存在x0∈(0,1]，不等式mea＋f(x0)＞0都成立，等價于對任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋2－2a＞0都成立，不等式mea＋2－2a＞0可化為m＞，記g(a)＝(a∈(－2,0])，則g′(a)＝＝＞0，所以g(a)的最大值是g(0)＝－2，所以實數(shù)m的取值范圍是
6、(－2，＋∞)．例3．(2017·沈陽質監(jiān))已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx＋b(a∈R)．(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為3x－y－3＝0，求實數(shù)a，b的值；(2)若x＝1是函數(shù)f(x)的極值點，求實數(shù)a的值；(3)若－2≤a＜0，對任意x1，x2∈(0,2]，不等式
7、f(x1)－f(x2)
8、≤m恒成立，求m的最小值．解：(1)因為f(x)＝x2－alnx＋b，學習資料整理范文范例指導參考所以f′(x)＝x－，因為曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為3x－y－3＝0，所以即解得(2)因為x＝1是函數(shù)f(x)的極值點，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．當a
9、＝1時，f(x)＝x2－lnx＋b，定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝＝，當0＜x＜1時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x＞1時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，所以a＝1．(3)因為－2≤a＜0,0＜x≤2，所以f′(x)＝x－＞0，故函數(shù)f(x)在(0,2]上單調遞增，不妨設0＜x1≤x2≤2，則
10、f(x1)－f(x2)
11、≤m可化為f(x2)＋≤f(x1)＋，設h(x)＝f(x)＋＝x2－alnx＋b＋，則h(x1)≥h(x2)．所以h(x)為(0,
