中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)

《中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、WORD格式整理微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造1原函數(shù)法此法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點：(1)將要證的結(jié)論中的換成；(2)通過恒等變形將結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號的形式；(3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導(dǎo)數(shù)符號），并取積分常數(shù)為零；(4)移項使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù)．例1：證明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的結(jié)論中令，得，先變形為再兩邊同時積分得，令，有故為所求輔助函數(shù)．例2：若,,,…,是使得的實數(shù)．證明方程在（0，1）內(nèi)至少有一實根．證：由于并且這一積分結(jié)果與題設(shè)條件和要證明的結(jié)論有聯(lián)系

2、，所以設(shè)（?。?，則1）在[0，1]上連續(xù)2）在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)3）=0，故滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，存在使，即亦即．專業(yè)知識分享WORD格式整理這說明方程在（0，1）內(nèi)至少有實根．2積分法對一些不易湊出原函數(shù)的問題，可用積分法找相應(yīng)的輔助函數(shù)．例3：設(shè)在[1，2]上連續(xù)，在（1，2）內(nèi)可導(dǎo)，，．證明存在使．分析：結(jié)論變形為，不易湊成．我們將換為，結(jié)論變形為，積分得：，即，從而可設(shè)輔助函數(shù)為，有．本題獲證．例4：設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可微，．證明存在，使得：．證：將變形為，將換為，則，兩邊關(guān)于積分，得：，所以，其中，由可得．由上面積分的推導(dǎo)可知，為一常數(shù)，故其導(dǎo)數(shù)必為零

3、，從整個變形過程知，滿足這樣結(jié)論的的存在是不成問題的．因而令，易驗證其滿足羅爾定理的條件，原題得證．3幾何直觀法此法是通過幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的關(guān)系，從而建立適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)．例5：證明拉格朗日中值定理．專業(yè)知識分享WORD格式整理分析：通過弦兩個端點的直線方程為，則函數(shù)與直線AB的方程之差即函數(shù)在兩個端點處的函數(shù)值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函數(shù)．例6：若在上連續(xù)且．試證在內(nèi)至少有一點，使．分析：由圖可看出，此題的幾何意義是說，連續(xù)函數(shù)的圖形曲線必跨越這一條直線，而兩者的交點的橫坐標(biāo)，恰滿足．進(jìn)而還可由圖知道，對上的同一自變量值，這兩條曲

4、線縱坐標(biāo)之差構(gòu)成一個新的函數(shù)，它滿足<0,>0,因而符合介值定理的條件．當(dāng)為的一個零點時，恰等價于．因此即知證明的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)．4常數(shù)k值法此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟分為以下四點：1）將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為．2）恒等變形使等式一端為及構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為及構(gòu)成的代數(shù)式．3）觀察分析關(guān)于端點的表達(dá)式是否為對稱式．若是，則把其中一個端點設(shè)為，相應(yīng)的函數(shù)值改為．4）端點換變量的表達(dá)式即為輔助函數(shù)．例7：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，試證存在一點專業(yè)知識分享WORD格式整理，使等式成立．分析：將結(jié)論變形為，令，則有，令，可得輔助函數(shù)．例8：設(shè)在上存在，在，試證明存在，

5、使得．分析：令，于是有，上式為關(guān)于，，三點的輪換對稱式，令（or：，or：），則得輔助函數(shù)．5分析法分析法又叫倒推法，就是從欲證的結(jié)論出發(fā)借助于邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論．例9：設(shè)函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明在（0，1）內(nèi)存在一點，使得．分析：所要證的結(jié)論可變形為：，即，因此可構(gòu)造函數(shù)，則對與在[0，1]上應(yīng)用柯西中值定理即可得到證明．例10：設(shè)函數(shù)在[0,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且=0，對任意有．證明存在一點使（為自然數(shù)）成立．分析：欲證其成立，只需證由于對任意有，故只需證：即，于是引入輔助函數(shù)（為自然數(shù)）．專業(yè)知識分享WORD格式整理例11

6、：設(shè)函數(shù)在區(qū)間［0，+］上可導(dǎo)，且有個不同零點：．試證在[0，+]內(nèi)至少有個不同零點．（其中，為任意實數(shù)）證明：欲證在[0，+）內(nèi)至少有個不同零點，只需證方程=0在[0，+]內(nèi)至少有個不同實根．因為，，，故只需證方程在內(nèi)至少有個不同實根．引入輔助函數(shù)，易驗證在區(qū)間[]，[]，…，[]上滿足羅爾定理的條件，所以，分別在這個區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，得，其中且以上說明方程在[][]…[][0，+]內(nèi)至少有個不同實根，從而證明了方程=0在[0，+]內(nèi)至少有個不同實根．6待定系數(shù)法在用待定系數(shù)法時，一般選取所證等式中含的部分為，再將等式中一個端點的值換成變量，使其成為函數(shù)關(guān)系，等式兩端做

7、差構(gòu)造輔助函數(shù)，這樣首先可以保證=0，而由等式關(guān)系=0自然滿足，從而保證滿足羅爾定理條件，再應(yīng)用羅爾定理最終得到待定常數(shù)與之間的關(guān)系．例12：設(shè)是上的正值可微函數(shù)，試證存在，使．證明：設(shè)，令容易驗證在專業(yè)知識分享WORD格式整理上滿足羅爾定理條件，由羅爾定理，存在使，解得，故．例13：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點使．證明：將所證等式看作，設(shè)，令，則滿足羅爾定理條件，由羅爾定理得，存在一點，使，即，若=0，則，結(jié)論成立；若，則，從而有．例14：設(shè)，則存在使．分析：對于此題設(shè)作函數(shù)．應(yīng)用羅爾定理可得存在