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《學(xué)習(xí)張量必看-一個(gè)文檔學(xué)會(huì)張量張量分析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、補(bǔ)充材料:張量分析初步高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陳玉麗航空科學(xué)與工程學(xué)院1目錄引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)?ij與erst坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分AppendixA引言廣義相對(duì)論（1915）、理論物理連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)）現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻(xiàn)都采用張量表示主要參考書:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMecha
2、nics,Springer,1972.黃克智等，張量分析，清華大學(xué)出版社，2003.張量基本概念標(biāo)量（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度應(yīng)變能密度等等。其值與坐標(biāo)系選取無關(guān)。張量基本概念矢量（一階張量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。矢量（一階張量）矢量u在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為其中u1,u2,u3是u的三個(gè)分量，e1,e2,e3是單位基矢量。張量基本概念矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系；遵從相應(yīng)的矢量運(yùn)算規(guī)則。張量基本概念矢量(可推廣至張量)的三
3、種記法：實(shí)體記法：u分解式記法：分量記法：AppendixA.1張量基本概念A(yù)ppendixA.1張量基本概念指標(biāo)符號(hào)用法三維空間中任意點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y,z）可縮寫成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。兩個(gè)矢量a和b的分量的點(diǎn)積(或稱數(shù)量積)為：愛因斯坦求和約定如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱啞標(biāo)。張量基本概念由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：由于啞標(biāo)i僅表示要遍歷求和，故可成對(duì)地任意交換。例如：只要指標(biāo)j
4、或m在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和i相同。張量基本概念約定：如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo)i,j,k,…表示三維指標(biāo)，取值1,2,3；希臘指標(biāo)?,?,?,…均為二維指標(biāo)，取值1,2。張量基本概念拉丁指標(biāo)希臘指標(biāo)張量基本概念二階張量應(yīng)變，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量壓電張量，等。四階張量彈性張量，等。張量基本概念二階（或高階）張量的來源描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量；低階張量的梯度；低階張量的并積；更高階張量的縮并，等。張量基本概念應(yīng)力張量張量基本概念張量的三種記法：實(shí)體記法：分解式記法：
5、分量記法：張量基本概念張量基本概念愛因斯坦求和約定采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其中j是啞指標(biāo)，i是自由指標(biāo)。張量基本概念例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為?（或）。矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為一階張量，標(biāo)量為零階張量。AppendixA.1張量基本概念?在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標(biāo)。例：?若i為自由指標(biāo)★張量基本概念自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。例如
6、：表達(dá)式在自由指標(biāo)i取1，2，3時(shí)該式始終成立，即有張量基本概念★同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個(gè)新名字。i換成k★★張量基本概念指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度ds和其分量dxi之間的關(guān)系可簡(jiǎn)寫成：場(chǎng)函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分：★張量基本概念24可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)(或幾對(duì))不同啞指標(biāo)的方法來表示多重求和。例如：若要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號(hào)。如：★★
7、張量基本概念25一般說不能由等式兩邊消去ai導(dǎo)得但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立。★張量基本概念26小結(jié)通過啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)又把許多方程縮寫成一個(gè)方程。一般說，在一個(gè)用指標(biāo)符號(hào)寫出的方程中，若有k個(gè)獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取值范圍是1～n，則這個(gè)方程代表了nk個(gè)分量方程。在方程的某項(xiàng)中若同時(shí)出現(xiàn)m對(duì)取值范圍為1～n的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)含相互迭加的nm個(gè)項(xiàng)。張量基本概念27目錄AppendixA引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)?ij與erst坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量
8、的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分28符號(hào)?ij與erst?ij符號(hào)(Kroneckerdelta)定義(笛卡爾坐標(biāo)系)(i,j=1,2,…,n)特性1.對(duì)稱性，由定義可知指標(biāo)i和j是對(duì)稱的，即293.換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：2.?ij的分量集合對(duì)應(yīng)于單位矩陣。例如在三維空間即：如果符號(hào)?的兩個(gè)指標(biāo)中，有一個(gè)和同項(xiàng)中其它因子的指
