學習張量必看一個文檔學會張量張量分析

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1、補充材料:張量分析初步高等復合材料力學AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陳玉麗航空科學與工程學院1目錄引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號?ij與erst坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分AppendixA引言廣義相對論（1915）、理論物理連續(xù)介質(zhì)力學（固體力學、流體力學）現(xiàn)代力學的大部分文獻都采用張量表示主要參考書:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,19

2、72.黃克智等，張量分析，清華大學出版社，2003.張量基本概念標量（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度應(yīng)變能密度等等。其值與坐標系選取無關(guān)。張量基本概念矢量（一階張量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。矢量（一階張量）矢量u在笛卡爾坐標系中分解為其中u1,u2,u3是u的三個分量，e1,e2,e3是單位基矢量。張量基本概念矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;其分量與坐標系選取有關(guān)，滿足坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系；遵從相應(yīng)的矢量運算規(guī)則。張量基本概念矢量(可推廣至張量)的三種記法：實體記法：u分解式記法：分量記法：AppendixA.1

3、張量基本概念A(yù)ppendixA.1張量基本概念指標符號用法三維空間中任意點P的坐標（x,y,z）可縮寫成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。兩個矢量a和b的分量的點積(或稱數(shù)量積)為：愛因斯坦求和約定如果在表達式的某項中，某指標重復地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復的指標稱為啞指標，簡稱啞標。張量基本概念由于aibi=biai，即矢量點積的順序可以交換：由于啞標i僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交換。例如：只要指標j或m在同項內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和i相同。張量基本概念約定：如果不標明取值范圍，則拉丁指標i,

4、j,k,…表示三維指標，取值1,2,3；希臘指標?,?,?,…均為二維指標，取值1,2。張量基本概念拉丁指標希臘指標張量基本概念二階張量應(yīng)變，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量壓電張量，等。四階張量彈性張量，等。張量基本概念二階（或高階）張量的來源描述一些復雜的物理量需要二階（或高階）張量；低階張量的梯度；低階張量的并積；更高階張量的縮并，等。張量基本概念應(yīng)力張量張量基本概念張量的三種記法：實體記法：分解式記法：分量記法：張量基本概念張量基本概念愛因斯坦求和約定采用指標符號后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其中j是啞指標，i是

5、自由指標。張量基本概念例如一點的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為?（或）。矢量和標量是特殊的張量，矢量為一階張量，標量為零階張量。AppendixA.1張量基本概念?在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標。例：?若i為自由指標★張量基本概念自由指標表示：若輪流取該指標范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。例如：表達式在自由指標i取1，2，3時該式始終成立，即有張量基本概念★同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指標應(yīng)防止重名。自由指標必須整體換名，即把方程或表達

6、式中出現(xiàn)的同名自由指標全部改成同一個新名字。i換成k★★張量基本概念指標符號也適用于微分和導數(shù)表達式。例如，三維空間中線元長度ds和其分量dxi之間的關(guān)系可簡寫成：場函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分：★張量基本概念24可用同項內(nèi)出現(xiàn)兩對(或幾對)不同啞指標的方法來表示多重求和。例如：若要對在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號。如：★★張量基本概念25一般說不能由等式兩邊消去ai導得但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立。★張量基本概念26小結(jié)通過啞指標可把許多項縮寫成一項，通過自由指標又把許多方程

7、縮寫成一個方程。一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，若有k個獨立的自由指標，其取值范圍是1～n，則這個方程代表了nk個分量方程。在方程的某項中若同時出現(xiàn)m對取值范圍為1～n的啞指標，則此項含相互迭加的nm個項。張量基本概念27目錄AppendixA引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號?ij與erst坐標與坐標轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分28符號?ij與erst?ij符號(Kroneckerdelta)定義(笛卡爾坐標系)(i,j=1,2,…,n)特性1.對稱性，由定義可知

8、指標i和j是對稱的，即293.換標符號，具有換標作用。例如：2.?ij的分量集合對應(yīng)于單位矩陣。例如在三維空間即：如果符號?的兩個指標中，有一個和同項中其它因子的指