《定積分的微元法》ppt課件

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1、§4旋轉(zhuǎn)曲面的面積面積公式：如果光滑曲線C由參數(shù)方程x=x(t)y=y(t),t∈[α，β]面積公式：那么，它是怎樣推導(dǎo)出來的呢？回顧曲邊梯形求面積的問題（分割近似求和取極限）一、問題的提出abxyo面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積微元微元法的一般步驟：這個(gè)方法通常叫做微元法．微元法是指通過從分析事物的極小部分入手,達(dá)到使事物的整體問題得以解決的一種方法.運(yùn)用微元法,在一定的條件下可以把變化的、運(yùn)動(dòng)的、物理規(guī)律不適用的整體對(duì)象或整體過程轉(zhuǎn)化為不變的、靜止的、物理規(guī)律適用的元對(duì)象或元過程,即變?yōu)槔硐氲膶?duì)

2、象或過程.微元法可以是把研究物體取微元部分進(jìn)行分析,也可以是把研究過程取微元階段進(jìn)行分析.微元法的基本數(shù)學(xué)工具是有關(guān)近似、極限、數(shù)列知識(shí)以及幾何、三角中的知識(shí)。微元法是把求累加量問題轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算的簡(jiǎn)化,它省卻了分微段、近似求和等過程,直接由微元累積導(dǎo)出積分如圖曲線c：y=f(x),x∈（a,b）垂直點(diǎn)x與x+Δx的平面的截面?zhèn)让娣e所以有由f(x)的連續(xù)性例一計(jì)算圓在上的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)所得球的面積。解：二微元法的應(yīng)用方向：經(jīng)濟(jì)學(xué)(經(jīng)濟(jì)函數(shù)最大小值問題，廣告策略問題，，，資本現(xiàn)值和投資問題等）物理學(xué)（功；水壓力；引力和平均值等．）幾何學(xué)（立體的面積，體積；曲線的

3、弧長(zhǎng).）電子學(xué)（微元法的高精度系統(tǒng)響應(yīng)矩陣建模），，，，，，1利用微元法計(jì)算資本現(xiàn)值和投資解由已知條件收入率為a=2000(萬元),年利率r=5%,故無限期的投資的總收入的貼現(xiàn)例有一個(gè)大型投資項(xiàng)目,投資成本為A=10000(萬元),投資年利率為5%,每年的均勻收入率為a=2000(萬元),求該投資為無限期時(shí)的純收入的貼現(xiàn)值(或稱為投資的資本價(jià)值).從而投資為無限期時(shí)的純收入貼現(xiàn)為R=y-A=40000-10000=30000(萬元)=3（億元）例2:一閘門呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中,兩底的長(zhǎng)度分別為4m和6m,高為6m,當(dāng)閘門上底正好位于水面時(shí),求閘門一側(cè)受

4、到的水壓力(水的密度為10kg/m3)。選取坐標(biāo)系如圖2所示,則AB的方程為y=-x/6+3取x為積變變量,在它的積分區(qū)間[0,6]上任取微小區(qū)間[x,x+dx],在水下深為xm處的壓強(qiáng)為9.8xkN/m2,因此在代表區(qū)間相應(yīng)的一小窄條上所受的壓力微元為2微元法在物理上的應(yīng)用在[0,6]上積分得3用微元法建立微分方程例3邊長(zhǎng)a為的方桌四角處各有(雌雄相間的)小蟲一只,它們以相同速度按逆時(shí)針方向爬向它鄰近的小蟲,求蟲們的爬行路線所滿足的微分方程。解以方桌的對(duì)角線為坐標(biāo)軸,中心在原點(diǎn),不妨設(shè)第一只蟲子在x軸正向,第二只在y軸正向上。由于爬行速度v一樣及位置的對(duì)稱性,

5、四只蟲子的軌跡是全等形,所以只討論第一只蟲子所滿足的微分方程。假設(shè)在t時(shí)刻,第一只蟲子位于點(diǎn)P(x,y),第二只蟲子位于Q(x2,y2)。給時(shí)間t一個(gè)微小的增量dt,第一只蟲子的變量x,y相應(yīng)地取得增量dx,dy。由于dt甚小,認(rèn)為第一只蟲子在該時(shí)間段[t,t+dt]內(nèi)在PQ連線上運(yùn)動(dòng)了vdt,取由于按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度第一只蟲子與第二只蟲子的軌跡重合,則,該兩式相比,得顯然，第一只蟲子的軌跡滿足4利用微元法簡(jiǎn)化對(duì)曲面積分的計(jì)算利用微元法把面積微元轉(zhuǎn)化為兩個(gè)變量微分之積，根據(jù)球面、柱面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系，對(duì)面積的曲面積分計(jì)算方便快捷，效果較好。微元法的

6、提出、思想、步驟.三、小結(jié)微元法的實(shí)質(zhì)是“和式”的極限.