解析幾何中和定值和定點(diǎn)問(wèn)題

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1、.解析幾何中的定值定點(diǎn)問(wèn)題（一）一、定點(diǎn)問(wèn)題【例1】．已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．⑴求橢圓C的方程；⑵設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；⑶在⑵的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．解：⑴由題意知，所以，即，又因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為：．⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為①聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．⑶設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為，令，得，將代入整理，得．②由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)．【針對(duì)性練習(xí)1】在直

2、角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和．⑴求軌跡的方程；⑵當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過(guò)定點(diǎn)．解：⑴∵點(diǎn)到，的距離之和是，∴的軌跡是長(zhǎng)軸為，焦點(diǎn)在軸上焦中為......的橢圓，其方程為．⑵將，代入曲線的方程，整理得，因?yàn)橹本€與曲線交于不同的兩點(diǎn)和，所以①設(shè)，，則，②且，顯然，曲線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，所以，．由，得．將②、③代入上式，整理得．所以，即或．經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)．即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與題意不符．當(dāng)時(shí)，直線的方程為．顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)，

3、且不過(guò)點(diǎn)．綜上，與的關(guān)系是：，且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)．【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。【解析】本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。......由，得化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2

4、）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。......若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此

5、，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）?！踞槍?duì)性練習(xí)3】已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，短軸長(zhǎng)為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．解:（Ⅰ）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，則解得∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．……4分（Ⅱ）由方程組消去，得．……6分由題意△，整理得：①………7分設(shè)，則，．………8分由已知，，且橢圓的右頂點(diǎn)為，∴?。　　?0分即，也即，整理得．解得或，均滿足①………11分......當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定

6、點(diǎn)，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，二、定值問(wèn)題【例2】．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是6.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；(Ⅱ)若為焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(Ⅰ)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為，由已知得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.離心率(Ⅱ),設(shè)由得化簡(jiǎn)得，即故存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為【例3】．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，P(2，0)為定

7、點(diǎn)．(Ⅰ)若點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(Ⅱ)若動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)P，且圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B是圓M與軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線C，使

8、AB

9、為定值？若存在，求這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由．解：(Ⅰ)設(shè)拋物線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由已知，，即，故拋物線C的方程是．(Ⅱ)設(shè)圓心()，點(diǎn)A，B.因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)P(2，0)，則可設(shè)圓M的方程為.令，得.則，.所以.，設(shè)拋物線C的方程為，因?yàn)閳A心M在拋物線C上，則.所以.......由此可得，當(dāng)時(shí)，為定值．故存在一條拋物線，使

10、AB

11、為定值4.解析幾何中的定值定點(diǎn)問(wèn)題（二）1、已知

12、橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)