《從局部到整體》ppt課件

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1、20世紀(jì)的數(shù)學(xué)從局部到整體在古典時(shí)期，人們大體上已經(jīng)研究了在小范圍內(nèi)，使用局部坐標(biāo)等等來研究事物．在這個(gè)世紀(jì)，重點(diǎn)已經(jīng)轉(zhuǎn)移到試圖了解事物整體和大范圍的性質(zhì)．由于整體性質(zhì)更加難以研究，所以大多只能有定性的結(jié)果，這時(shí)拓?fù)涞乃枷刖妥兊梅浅Ｖ匾耍荘oincaré，他不僅為拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展作出先驅(qū)性的貢獻(xiàn)，而且也預(yù)言拓?fù)鋵W(xué)將成為二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的組成部分，順便讓我提一下，給出一系列著名問題的Hilbert并沒有意識到這一點(diǎn)．拓?fù)鋵W(xué)很難在他的那些問題中找到具體體現(xiàn)．但是對Poincaré而言，他相當(dāng)清楚地看出拓?fù)鋵W(xué)將成為一個(gè)重要

2、的內(nèi)容．復(fù)分析（也被稱為“函數(shù)論”），這在十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)的中心，也是象Weierstrass這樣偉大人物工作的中心．對于他們而言，一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)復(fù)變量的函數(shù);對于Weierstrass而言，一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)冪級數(shù)．它們是一些可以用于寫下來，并且可以明確描繪的東西或者是一些公式．函數(shù)是一些公式:它們是明確可以用顯式寫下來的．然而接下來Abel，Riemann和其后許多人的工作使我們遠(yuǎn)離了這些，以至于函數(shù)變得可以不用明確的公式來定義，而更多地是通過它們的整體性質(zhì)來定義：通過它們的奇異點(diǎn)的分布，通過它們的定義域位置，通過它們?nèi)?/p>

3、值范圍．這些整體性質(zhì)正是一個(gè)特定函數(shù)與眾不同的特性．局部展開只是看待它們的一種方式．一個(gè)類似的事情發(fā)生在微分方程中，最初，解一個(gè)微分方程，人們需要尋找一個(gè)明確的局部解！是一些可以寫下來的東西．隨著事物的發(fā)展，解不必是一個(gè)顯函數(shù)，人們不一定必須用好的公式來描述它們．解的奇異性是真正決定其整體性質(zhì)的東西．與發(fā)生在復(fù)分析中的一切相比，這種精神是多么的類似，只不過在細(xì)節(jié)上有些不同罷了．在微分幾何中，Gauss和其他人的經(jīng)典工作描述了小片的空間，小塊的曲率以及用來描述局部幾何的局部方程．只要人們想要了解曲面的整體圖象以及伴隨它們的拓

4、撲時(shí)，從這些經(jīng)典結(jié)果到大范圍的轉(zhuǎn)變就是很自然的了．當(dāng)人們從小范圍到大范圍時(shí)，最有意義的性質(zhì)就是拓?fù)涞男再|(zhì)．?dāng)?shù)論也有一個(gè)類似的發(fā)展，盡管它并不是很明顯地適用于這一框架．?dāng)?shù)論學(xué)家們是這樣來區(qū)分他們稱之為“局部理論”和“整體理論”的：前者是當(dāng)他們討論一個(gè)單個(gè)的素?cái)?shù)，一次一個(gè)素?cái)?shù)，以及有限個(gè)素?cái)?shù)時(shí)；后者是當(dāng)他們同時(shí)討論全部素?cái)?shù)時(shí)．這種素?cái)?shù)和點(diǎn)之間，局部和整體之間的類似性在數(shù)論發(fā)展過程中起了很重要的作用，并且那些在拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展中產(chǎn)生的思想深深地影響了數(shù)論．當(dāng)然這種情況也發(fā)生在物理學(xué)中，經(jīng)典物理涉及局部理論，這時(shí)我們寫下可以完全描述小范

5、圍性質(zhì)的微分方程，接下來我們就必須研究一個(gè)物理系統(tǒng)的大范圍性質(zhì)．物理學(xué)涉及的全部內(nèi)容就是當(dāng)我們從小范圍出發(fā)時(shí)，我們可以知道在大范圍內(nèi)正在發(fā)生什么，可以預(yù)計(jì)將要發(fā)生什么，并且沿著這些結(jié)論前進(jìn)．維數(shù)的增加經(jīng)典復(fù)變函數(shù)論主要是詳細(xì)討論一個(gè)復(fù)變量理論并加以精煉．推廣到兩個(gè)或者更多個(gè)變量基本上發(fā)生在本世紀(jì)，并且是發(fā)生在有新現(xiàn)象出現(xiàn)的領(lǐng)域內(nèi)．不是所有的現(xiàn)象都與一個(gè)變量的情形相同，這里有完全新的特性出現(xiàn)，并且n個(gè)變量的理論的研究越來越占有統(tǒng)治地位，這也是本世紀(jì)主要成就之一．過去的微分幾何學(xué)家主要研究曲線和曲面，我們現(xiàn)在研究n維流形的幾何

6、,大家仔細(xì)想一想，就能意識到這是一個(gè)重要的轉(zhuǎn)變．在早期，曲線和曲面是那些人們能真正在空間里看到的東西．而高維則有一點(diǎn)點(diǎn)虛構(gòu)的成分，在其中人們可以通過數(shù)學(xué)思維來想象,但當(dāng)時(shí)人們也許沒有認(rèn)真對待它們．認(rèn)真對待它們并且用同樣重視程度來研究它們的這種思想實(shí)際上是二十世紀(jì)的產(chǎn)物．同樣地，也沒有明顯的證據(jù)表明我們十九世紀(jì)的先驅(qū)者們思考過函數(shù)個(gè)數(shù)的增加，研究不單單一個(gè)而是幾個(gè)函數(shù)，或者是向量值函數(shù)(vector-valuedfunction)．所以我們看到這里有一個(gè)獨(dú)立和非獨(dú)立變量個(gè)數(shù)增加的問題．線性代數(shù)總是涉及多個(gè)變量，但它的維數(shù)的增

7、加更具有戲劇性，它的增加是從有限維到無窮維，從線性空間到有無窮個(gè)變量的Hilbert空間．當(dāng)然這就涉及到了分析,在多個(gè)變量的函數(shù)之后，我們就有函數(shù)的函數(shù)，即泛函．它們是函數(shù)空間上的函數(shù)．它們本質(zhì)上有無窮多個(gè)變量，這就是我們稱為變分學(xué)的理論．一個(gè)類似的事情發(fā)生在一般（非線性）函數(shù)理論的發(fā)展中．這是一個(gè)古老的課題，但真正取得卓越的成果是在二十世紀(jì)．這就是我談的第二個(gè)主題．從交換到非交換這可能是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)，特別是代數(shù)學(xué)的最主要的特征之一．代數(shù)的非交換方面已經(jīng)極其重要，當(dāng)然，它源自于十九世紀(jì)．它有幾個(gè)不同的起源．Hamilton

8、在四元數(shù)方面的工作可能是最令人驚嘆的，并且有巨大的影響，實(shí)際上這是受處理物理問題時(shí)所采用的思想所啟發(fā)．還有Grassmann在外代數(shù)方面的工作，這是另一個(gè)代數(shù)體系，現(xiàn)在已經(jīng)被融入我們的微分形式理論中．當(dāng)然，還有Cayley以線性代數(shù)為基礎(chǔ)的矩陣方面的工作和Galois在群論方面的工作等．所有這些都是以不