[理學]常微分方程 (2)

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1、9.1常微分方程的基本概念9.2可分離變量的微分方程9.3一階微分方程與可降階的高階微分方程9.4二階常系數(shù)微分方程9.5常微分方程的應用舉例第9章常微分方程結(jié)束含有未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。定義一9.1常微分方程的基本概念常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程定義二在微分方程中，所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階一階微分方程的一般形式是二階微分方程的一般形式是注：在微分方程中，未知函數(shù)及自變量可以不出現(xiàn)例：定義3能使微分方程成為恒等式的函數(shù)叫做微分方程的解．其圖形是一條平面曲線，稱之為微分方程的積分曲線．例如，是方程的一個解．我們在學習不定

2、積分時就已經(jīng)知道，一個導數(shù)的原函數(shù)有無窮多個，因此一個微分方程也有無窮多個解．等于該點的縱坐標的平方，求此曲線方程．例1已知直角坐標系中的一條曲線通過點(1,2)，且在該曲線上任一點處的切線斜率解設所求曲線的方程為y=y(x)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義及本題給出的條件，得又由于已知曲線過點(1,2)，代入上式，得故所求曲線的方程為此解為該方程的通解（或一般解）．定義4若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，且任意常數(shù)之間不能合并，則稱一階微分方程的通解是二階微分方程的通解是n階微分方程的通解中，必須含有n個任意常數(shù)．其通解的圖形是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族．定義5如果指定通解中的

3、任意常數(shù)為某一固定常數(shù)，那么所得到的解叫做微分方程的特解．如方程的通解是而就是一個特解，這里在具體問題中常數(shù)C的值總是根據(jù)“預先給定的條件”而確定的．如例1中的曲線通過點（1,2），這個“預先給定的條件”叫初始條件．稱為初始條件．當通解中的各任意常數(shù)都取定義6用來確定通解中的任意常數(shù)的附加條件一般得特定值時所得到的解，稱為方程的特解．通常情況下，即二階微分方程的初始條件是及即與一個微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題稱為初值問題，求解其初值問題就是求方程的特解．一階微分方程的初始條件是是不是方程例2驗證函數(shù)解求的導數(shù)，得代入原方程的左邊，有即函數(shù)不滿足原方程，所以該函數(shù)不是所給二階微分方程的解．解

4、由得代入原方程的左邊滿足原方程．又因為該函數(shù)含有一個任意常數(shù)，是一階微分方程的通解．并求滿足初始條件為任意常數(shù)）,例3驗證是不是方程的通解（C的特解．將初始條件代入通解，得故所求特解為9.2可分離變量的微分方程形如f(x)dx+g(y)dy=0（9.2.1）定義：的一階微分方程叫做變量已分離的微分方程。如果微分方程M(x,y)dx+N(x,y)=0(9.2.2)中左端的函數(shù)M(x,y)、N(x,y)都可以分解為兩個因子的積，并且這兩個因子中一個只含有變量x,另一個只含有變量y，即上述方程可以表為去除這個方程的兩邊，上式就可化為以（9.2.3）將（9.2.3）式兩邊積分后，（C為任意常數(shù)）可驗

5、證，此結(jié)果即用隱式給出的方程（9.2.3）的通解．個原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上。約定:在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一例1求微分方程解移項、積分得例2求方程的通解解分離變量，得兩邊積分，得通解例3求微分方程滿足初始條件的特解．解此為可分離變量的微分方程分離變量后得兩端積分，得即故所求特解為由初始條件得例4求微分方程的通解．解整理得這不是可分離變量的方程，若令即y=ux則有代入方程得(1)為可分離變量的微分方程即(1)例4所給出的方程是一種特殊類型的方程，其一般形式為這類方程稱作齊次微分方程，這類方程可采用變換，將其轉(zhuǎn)化為可分離變量方程．將(1)變形為得從而9.3一

6、階微分方程與可降階的高階微分方程9.3.1一階線性微分方程特征如果q(x)=0,則(9.3.1)變?yōu)椋?.3.2）稱為一階線性齊次方程．的微分方程，稱為一階線性微分方程．（9.3.1）定義形如（9.3.1）式稱為一階線性非齊次方程．下面介紹利用參數(shù)變易法求方程（9.3.1）的通解．的通解．首先求方程（9.3.1）所對應的齊次線性方程（9.3.2）（9.3.2）是變量可分離的方程，容易求得它的通解即于是把它們代入方程（9.3.1），得故（9.3.1）式的通解為（9.3.3）一階線性非齊次微分方程的求解步驟如下：(i)求對應于（9.3.1）的齊次方程（9.3.2）的通解(ii)令，并求出代入(i

7、)，解出(iii)將(ii)中的(iv)將(iii)中求出的代入(ii)中y的表達式，得到即為所求（9.3.1）的通解．例1求微分方程的通解．解代入公式則所求的通解為例2求解微分方程解方程可變形為這里所以例3求微分方程的通解．解把x看作是y的函數(shù)將原方程改寫為：此為關于未知函數(shù)的一階線性非齊次方程，其中，它們的自由項代入一階線性非齊次方程的通解公式，有即所求通解為9.3.2可降階的高階微分方程高階方程：二階或