常微分方程常微分方程

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1、常微分方程常微分方程主講胡平劉慧敏王勝軍青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系常常微微分方程課程分方程課程簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠蹋缗ｎD運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常

2、微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。學(xué)習(xí)《常微分方程》的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識(shí)，來(lái)解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過(guò)這門(mén)課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問(wèn)題，為他們將來(lái)從事相

3、關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。指定教材指定教材及及參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)n教材：《常微分方程》（第二版）東北師范大學(xué)微分方程教研室編高教出版社2005年n參考書(shū)：1.王柔懷、伍卓群，《常微分方程講義》，人民教育出版社2.丁同仁、李承治，《常微分方程教程》，高等教育出版社3.王高雄,周之銘《常微分方程》高等教育出版社4.葉彥謙《常微分方程》人民教育出版社5.錢(qián)祥征《常微分方程解題方法》人民教育出版社主要內(nèi)容主要內(nèi)容第一章初等積方法第二章基本定理第三章線性微分方程組第四章線性微分方程第五章定性與穩(wěn)定性概念知識(shí)模

4、塊知識(shí)模塊順順序和對(duì)應(yīng)序和對(duì)應(yīng)學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)1.初等積分法:5類(lèi)典型方程的解法；一階隱方程的解法；幾類(lèi)可降階的高階方程的解法；一階方程的應(yīng)用。18學(xué)時(shí)2.基本定理：初值問(wèn)題的解的存在唯一性；解的延展；解對(duì)初值與參數(shù)的連續(xù)性與可微性；奇解與包絡(luò)。12學(xué)時(shí)3.線性微分方程組：通解的結(jié)構(gòu)；常系數(shù)線性方程(組)的解法；常數(shù)變易法；首次積分。16學(xué)時(shí)4.高階線性微分方程：通解的結(jié)構(gòu)；常系數(shù)線性方程的解法；特征根法；待定系數(shù)法、拉氏變換法；冪級(jí)數(shù)解法。14學(xué)時(shí)5.定性與穩(wěn)定性理論初步：解的穩(wěn)定性；定性理論的基本概念；平面動(dòng)力系統(tǒng)

5、。12學(xué)時(shí)第一章第一章初初等積分法等積分法11..11微微分方分方程和程和解解什么是微分方程？它是怎樣產(chǎn)生的？本節(jié)介紹基本概念300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類(lèi)科學(xué)史上劃時(shí)代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問(wèn)題密切相關(guān).這是因?yàn)?，微積分產(chǎn)生的一個(gè)重要?jiǎng)右騺?lái)自于人們探求物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求.一般地，運(yùn)動(dòng)規(guī)律很難全靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)清楚，因?yàn)槿藗儾惶赡苡^察到運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程.然而，運(yùn)動(dòng)物體(變量)與它的瞬時(shí)變

6、化率(導(dǎo)數(shù))之間，通常在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降竭@種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程.一旦求出這個(gè)方程的解，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會(huì)使你看到微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.v(0)=vv(0)=0v0※※微分方程微分方程模型模型n例1物體下落問(wèn)題設(shè)質(zhì)量為m的物體，在時(shí)間t=0時(shí)，在距地面高度為H處以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求此物體下落時(shí)距離與時(shí)間的關(guān)系.n解：如圖1-1建立坐標(biāo)系，設(shè)為t時(shí)刻物體的位置坐標(biāo)是x.

7、于是物體下落的速度為v=v(t)加速度為所求x=x(t)還滿足:x(0)=H,v(0)=v0質(zhì)質(zhì)量為量為mm的的物物體，體，在在下下落落的的任任一時(shí)一時(shí)刻所刻所受到受到的的外外力有力有重重力力mgmg和空和空氣阻氣阻力力，當(dāng)，當(dāng)速度速度不不太太大大時(shí)時(shí)，空，空氣阻氣阻力可力可取取為與為與速度速度成成正比正比..于于是是根根據(jù)據(jù)牛頓牛頓第二第二定律定律FF==mmaa((力力==質(zhì)質(zhì)量量××加速度加速度))可以可以列列出出方程方程（1.1）其其中中kk＞＞00為為阻阻尼尼系數(shù)，系數(shù)，gg是是重重力力加加速度速度.

8、.((11..1)1)式式就就是是一一個(gè)個(gè)微分微分方方程，程，這這里里tt是是自變自變量，量，xx是是未未知知函函數(shù)數(shù)..現(xiàn)現(xiàn)在在，，我我們們還還不不會(huì)會(huì)求求解解方程方程((11..1)1)，，但但是，是，如如果果考考慮慮kk=0=0的的情情形形，，即即自自由落由落體體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，此此時(shí)時(shí)方程方程((11..1)1)可可化為化為((11..2)2)將上式對(duì)將上式對(duì)tt積分積分兩兩次得次