常微分公式方程

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2、常微分方程第一二章考測(cè)驗(yàn)試卷(8)班級(jí)：學(xué)號(hào)：姓名：　得分：一．填空題（10分）1．稱(chēng)為一階線性方程，它有積分因子，其通解為。2．當(dāng)時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱(chēng)為恰當(dāng)方程。3.方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的積分因子的充要條件是，有只含y的積分因子的充要條件是。4．稱(chēng)為伯努利方程，它有積分因子。5．稱(chēng)為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解，則經(jīng)換，可化為伯努利方程。二.求一曲線，是其切線在縱軸之截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（10分）三.出伯努利方程的積分因子。（15分）四．求下列方程的通解。（45分）1．2.=3．x(4ydx+2xdy)+y(3ydx+5x

3、dy)=04．（y-1-xy）dx+xdy=05．=y+sinx6．(xy+xy)y=17．(x-1)y+y-2xy+1=08.dx+dy=0五．證明題。（20分）（1）一階非齊線性方程的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程的解（2）齊線性方程的任一解的常數(shù)倍或任兩解之和仍為其解。

4、參考答案一．填空題。1．=P（x）y+Q(x)ee()2．3．4．e5．y(x)=+z二．解：設(shè)曲線的切點(diǎn)為（x,y），設(shè)切線的方程為Y-y=y(X-x)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0,y-xy），（x-）由題意得：y-xy=x,即=-1令=u得y=ux則=u-1u=-ln+c即=-ln+c方程的通解為y=cx--xl

5、n三．解：伯努利方程為：=P(x)y+Q(x)y兩邊同乘以y得：y=p(x)y+Q(x)則[p(x)y+Q(x)]dx-ydy=0==(n-1)P(x)則積分因子為=e則ydy=[p(x)y+Q(x)]dx令(x)=y=ye則(x)即為伯努利方程的積分因子。

6、四．1．解：令y=tx則方程化為tx-x(1-tx)=0t-1+tx=0x=-ty=t(-t)=1-tdy=(1-t)d(-t)dy=(1-t)(--2t)dt=(2t-t-)dty=t-t++c則方程的通解為2．解：方程可化為xdy+ydx+ydy+3dy-xdx-dx=0兩邊積分即得方程的通解為xy++3y--x=c　3．解

7、：用xy乘以方程兩邊得4xydx+2xydy+3xydx+5xydy=0ydx+xdy+ydx+xdy=0d(xy+xy)=0兩邊積分即得方程的通解為xy+xy=c4．解：因?yàn)?=-1則=e=e分別乘方程兩邊得：e(y-1-xy)dx+exdy=0=exu=xey+=ey-xye+(x)=e(y-1-xy)(x)=-e(x)=e得u=e+xye即方程的通解為e+xye=c5．解：因?yàn)榉匠虨榫€性方程，所以y=e()=e()

8、=e(c-)方程的通解為y=ce-6．解：y=即==兩邊同乘以xx=xy+y令x=z則-x==-zy-yz=e(+c)z=ce+y-2則=ce+y-2,y=0為方程

9、的通解。7．解：(x)=x為方程的特解，令y(x)=(x)+z為方程的解,則(x-1)(1+)+(x+z)-2x(x+z)+1=0方程可化為（x-1）=-z變量分離得：=dx積分得：=ln+c=ln+c8.解：兩邊同乘以=0+ydy=0

10、d()+d()=0即方程的通解為：+=c五．證明：（1）設(shè)一階非齊線性方程為=P（x）y+Q(x)）（*）齊線性方程為=P（x）y（**）設(shè)y,y為（*）的任意兩個(gè)解則=P（x）y+Q(x)=P(x)y+Q(x)==P(x)(y-y)y-y為方程（**）的解，命題成立。（2）設(shè)y,y為（**）的任意兩個(gè)解，c為任意常數(shù)=cP(x)y=P(x)(cy)

11、=cP(x)y=P(x)(cy)則其方程的常數(shù)倍仍為方程（**）的解=P(x)(cy)+P(x)(cy)=P(x)(cy+cy)則cy+cy為方程的解。命題成立。

12、常微分方程第一、二章測(cè)驗(yàn)試卷(14)一．填空題：1．當(dāng)時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱(chēng)為恰當(dāng)方程，或者全微分方程。2.稱(chēng)為一階線性方程，它有積分因子,其通解　　　　　　　　　　。3.　　　　　　　　　　　稱(chēng)為奇次方程。4.　　　　　　　　　　稱(chēng)為伯努利方程，它有積分因子　　　　　　　　　　?！　　《笙铝蟹匠痰慕?1.2.3.4.ydx+(y-x)dy=05.xy(y-x)6.求微分方程的通解；7.8．9

13、.求微分方程滿(mǎn)足的特解．10．

14、11.12.13.14．求微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解．答案一、填空題：1.2.y=e(+c)3.4.(n)二．求下列方程的解:1.解:當(dāng)時(shí)，分離變量得等式兩端積分得即通解為2.解:令3.解:齊次方程的通解為

15、令非齊次方程的特解為代入原方程，確定出原方程的通解為+4.解：令5.解:令得6.解：令則兩邊積分或者7.解:令，則，代入原方程，得

16、，當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得，即：8.解:令，則原方程的參數(shù)形式為由基本關(guān)系式積分得原方