偽超彈性氣球的變形.doc

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1、偽超彈性氣球的變形任九生陳鋒（上海大學(xué)力學(xué)系，上海市上大路99號，200444）摘要本文在有限變形偽彈性理論的框架下研究了球形薄壁橡膠氣球的膨脹與收縮過程的變形問題。文中借助Dorfmann和Ogden提出的帶有損傷變量和殘余應(yīng)變變量的偽超彈性應(yīng)變能函數(shù)來描述橡膠材料的本構(gòu)關(guān)系，由彈性薄膜理論得到氣球在加載和卸載過程中的變形曲線，討論了氣球變形過程反映出來的材料不穩(wěn)定性問題和Mullins效應(yīng)、殘余應(yīng)變等。通過能量比較討論了解的穩(wěn)定性，分析了材料變形的不穩(wěn)定性問題。討論了氣球變形中存在明顯的Mullins效應(yīng)和卸載后的殘余應(yīng)變。

2、關(guān)鍵詞：橡膠氣球，偽超彈性，Mullins效應(yīng)，殘余變形、不穩(wěn)定性一引言近幾年來橡膠和聚合物等類橡膠材料在工程領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，由于在材料破壞中扮演者重要角色，所以諸如超彈性材料的穩(wěn)定性問題等此類材料的非線性問題受到越來越多的關(guān)注[1~3]。問題的多解性屬于一類重要的材料不穩(wěn)定性問題，橡膠氣球的膨脹就是一個典型的例子[4~5]。當(dāng)一個橡膠氣球發(fā)生膨脹時，開始它保持球形，直到壓力達(dá)到某一極大值。在此之后，隨著氣球體積的膨脹，壓力反而下降；同時，球體的某些部位只受到輕微拉伸而其他部位卻受到強(qiáng)烈的拉伸，即氣球明顯偏離球形。對于一個

3、相同的壓力，存在對應(yīng)于不同的膨脹變形的多個解，就遇到了材料的不穩(wěn)定性問題。在氣球的卸載過程中，氣球的卸載曲線有明顯的滯后且完全卸載后存在一定量的殘余應(yīng)變[2]，橡膠材料屬于超彈性材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由超彈性應(yīng)變能函數(shù)描述，但超彈性理論無法解釋此類非彈性現(xiàn)象，這種現(xiàn)象的產(chǎn)生是因?yàn)轭愊鹉z材料的Mllins效應(yīng)，即材料的內(nèi)部損傷導(dǎo)致的應(yīng)力軟化效應(yīng)[6]。要描述這些效應(yīng)需引入由馮元禎提出的偽彈性應(yīng)變能函數(shù)，Ogden[6]用偽超彈性的理論模擬了這種效應(yīng)，可以通過在材料的應(yīng)變能函數(shù)中加入一些不連續(xù)的內(nèi)因或損傷變量來實(shí)現(xiàn)。損傷變量在變形過程

4、中可以是起作用的也可以是不起作用的，這樣材料在加載過程滿足一種應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系而在卸載過程卻滿足另一種應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，由此可以解釋類橡膠材料的滯后現(xiàn)象或Mllins效應(yīng)，并可分析卸載后的殘余應(yīng)變。本文的目的是進(jìn)一步研究偽超彈性薄壁橡膠氣球的膨脹和收縮過程中的不穩(wěn)定性問題。本文借助Dorfmann和Ogden[7]提出的帶有損傷變量和殘余應(yīng)變變量的偽超彈性應(yīng)變能函數(shù)來描述橡膠材料的本構(gòu)關(guān)系，把氣球理想化為一個彈性薄膜，應(yīng)用簡單的能量法得到了薄膜理論中氣球膨脹及收縮過程中變形與壓力關(guān)系的一般表達(dá)式，并得到了氣球在加載和卸載過程中的變形曲線

5、，由此分析了氣球在加載和卸載過程中反映出來的材料不穩(wěn)定性問題和Mullins效應(yīng)、殘余應(yīng)變等。通過能量比較討論了膨脹和收縮曲線所對應(yīng)的解的穩(wěn)定性問題，從而分析了材料變形的不穩(wěn)定性問題。詳細(xì)描述了變形過程中材料的響應(yīng)，討論了變形中的Mullins效應(yīng)和卸載后的殘余應(yīng)變與材料在加載過程中產(chǎn)生的材料損傷的關(guān)系。二基本公式把氣球視為一個變形前半徑為，厚度為，且在初始時刻無應(yīng)力的各向同性的球形薄膜。假定氣球在膨脹壓力作用下在時刻成為半徑，厚度為的氣球，并分別用球坐系和描述變形前和變形后的氣球。氣球的變形模式函數(shù)為(1)這里，是一個待定函數(shù)

6、。相應(yīng)的變形梯度張量為(2)變形主伸長為(3)考慮到材料的不可壓縮性，令,則有。采用Dorfmann和Ogden[7]給出的能夠模擬類橡膠材料有殘余應(yīng)變的理想化的Mullins效應(yīng)的偽超彈性應(yīng)變能函數(shù)(4)式中,是通常的應(yīng)變能函數(shù)，本文取為Ogden材料[7](5)其中，。函數(shù)(6)其中，為與加載過程中主伸長的最大值有關(guān)的材料參數(shù)。是只取決于損傷變量的損傷函數(shù)(7)其中，材料參數(shù)，。損傷變量在卸載過程中起作用，由下式?jīng)Q定(8)是只取決于殘余應(yīng)變變量的殘余應(yīng)變函數(shù)，滿足（9）殘余應(yīng)變變量由下式?jīng)Q定(10)其中指數(shù)函數(shù)(11)初次加

7、載時，且要求,可從偽超彈性應(yīng)變能函數(shù)（4）退化得出通常的應(yīng)變能函數(shù)（5）。三氣球的膨脹根據(jù)能量守恒定理[2]，物體任何一部分的總能量變化率與總功率平衡，有(12)對微分，有(13)這是從無初應(yīng)力的初始狀態(tài)開始變形的各向同性超彈性薄壁氣球的膨脹壓力的一般表達(dá)式。在的情況下，把（4）代入上式，有(14)式(14)的數(shù)值結(jié)果，即氣球的膨脹曲線如圖1實(shí)線所示，由圖可見，存在一個膨脹壓力的極大值，當(dāng)壓力小于這個極大值時，隨著變形的增加，壓力迅速地增加；但當(dāng)壓力大于這個極大值時，隨著變形的增加，壓力反而減??；最后，當(dāng)壓力大于壓力的極小值時，

8、隨著變形的增加，壓力又持續(xù)地增加。對于一個確定的壓力，存在對應(yīng)于不同的膨脹變形的多個解，這就碰到了解的不穩(wěn)定性問題，為了比較解的穩(wěn)定形就必須比較氣球的總勢能。無初應(yīng)力的氣球變形的總勢能為(15)Figure圖1：氣球的變形曲線圖2：氣球變形的能量曲線Fig.1D