向量在幾何中的應(yīng)用

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1、唐山鄴范學(xué)晚本科畢北論丈題冃向量在解析幾何中的應(yīng)用學(xué)生張紅陽指導(dǎo)教師孟令江副教授年級10數(shù)本2班專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系另IJ數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系唐山鄴范學(xué)晚敖學(xué)與信息科學(xué)糸2014年5月鄭重聲明本人的畢業(yè)論文（設(shè)計）是在指導(dǎo)教師孟令江的指導(dǎo)下獨立撰寫完成的。如存剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責(zé)任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督。特此鄭重聲明。畢業(yè)論文（設(shè)計）作者（簽名）：張紅陽2014年4月31日標題1蚊觀11弓I言12預(yù)備知識12.1向量的概念12.2向量的運算12.1向量的加法112.2向量的減法11

2、.3數(shù)量乘向量12.2.4兩向量的數(shù)量積12.2.5兩向量的向量積13.2.2.2.6三向量的混合積22.2.7法向量的有關(guān)概念22.8線性相關(guān)定義23向量在立體幾何中的應(yīng)用21向量在立體幾何中的證明23.2.3.1.1向量在立體幾何屮的簡單證明23.1.2證明兩直線平行321.3證明線面平行41.4證明面面平行63.1.5證明兩直線垂直73.1.6證明線面垂直83.1.7證明面面垂直93.2向量在兒何中的計算101距離102..1.1兩點間的距離101.2點到直線的距離111.3點面距離111.4異面直線的距離122夾角121兩異面直線的夾角123.2.2.

3、2線面角133.2.2.3二面角143.2.3求面積163.2.4求體積17參考文獻：18gcW19夕卜;fcM20向量在解析幾何中的應(yīng)用張紅陽摘要本文研究向量在解析幾何中的應(yīng)用，其中有證明和計算。通過用空間向量解決立體幾何中的這些問題，揭示了向量在向量在解析幾何中的重要作用，其獨到之處，在于用向量來處理空間問題，，使解題變得簡單化、程序化。關(guān)鍵字向量立體幾何平行垂直1引言向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一，是溝通代數(shù)、兒何、三角等p、j容的橋梁。它具有豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用。特別對于它解決兒何的有關(guān)問題時更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡易美。向量的引入給數(shù)學(xué)的解題注

4、入了新的活力，尤某是空間向fi的引入對立體兒何的解題可謂是革命性的。在空間直角坐標系中，立體兒何里的線面平行、垂直論證、角度、距離的計算等問題的解決，都與向量有著密切的關(guān)系。2預(yù)備知識2.1向量的概念定義1:既有大小又有方向的W:叫做向或稱矢垃，簡稱矢。定義2:空間或平面的有向線段叫做矢量或向量。2.2向量的運算1向量的加法設(shè)已知向呈LI空間任意一點0為十點接連作向量&=L得一折線的端點0,到另一端點B的向量=叫做兩向量6Z與石的和，記作C=+。2.2向量的減法當(dāng)向量3與C向量的和等于向量6Z，即C=,由兩向量“與g求它們的差的運算叫做向M減法。2.2.3數(shù)量

5、乘向量實數(shù)A與向呈6/的乘積是一個向量，記作它的模是=

6、2

7、cz

8、;A“的方向，當(dāng)A〉0時與5的方向相同，當(dāng)A<0時與G的方向相反。我們把這種運算叫做數(shù):W:與向:W:的乘法，簡稱為數(shù)乘。2.4兩向量的數(shù)量積兩向量3和3的模和他們夾角的余弦的乘積叫做向量5向量5的數(shù)量積（也稱內(nèi)積），叫做55或6Z，即—?—#—?—?/—>—>ab-abcosZa,bj2.2.5兩向量的向量積5與石的向g積（也稱外積）是一個向S,記作3x5或者［55］，它的模是axb=absin/.[a.bjy它的方向與tz和5都垂直。6三向量的混合積給定空間的三個向量如果先作前兩個向量Z

9、與5的向量積，再作所得的向量與第三個向量5的數(shù)量積，最后得到的這個數(shù)叫做三向量3的混合積，記作fzx幻；或或（工）。2..7法向量的有關(guān)概念如果一個向量所在直線垂直于平面，則該向量是平面的一個法向量。2.2.8線性相關(guān)定義—?■??對于n（n>1〉個向量6/1，“2，…，6Z,,，如果存在不全為0的n個數(shù)冬，乂2，…，人使得—>I??—?人“1+A2“2十???+人，=0,那么n個向量1，石，…，f叫做線性相關(guān)。3向量在立體幾何中的應(yīng)用3.1向量在立體幾何中的證明1.1向量在立體兒何屮的簡單證明例1設(shè)互不共線的三向量ig與試證明順次將它們的始點與終點樸I連而成

10、一個三角形的充要條件是它們的和是零向量。證明：必要性設(shè)三個向量H三可以構(gòu)成三角形ABC,即有^=5，&=（下圖），Afi+BC+C4=0,即5+=充分性設(shè)tz+g+c=5,作/lfi=6z，BC-b,那么AC=tz+g，所以AC+c=5，從而c是/1C的反14量，因此[=巧，所以3可構(gòu)成一個三角形A5C。例2用向璧法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。證明：設(shè)四邊形/IBCD的對角線AC,交于（？點且互相平分（下圖），從圖可以看出：~AB=A0-}-0B=0C-^-DO=~Dd+OC=~DCf因此，AB//~DCS.AB=~DCf即四邊形ABCD

11、為平行四邊形。BC3.1.2證明兩直線