《定積分的簡單應(yīng)用》參考教案

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1、定積分的簡單應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1、進(jìn)一步讓學(xué)生深刻體會(huì)“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法；2、讓學(xué)生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理；3、初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法，以及利用定積分求一些簡單的旋轉(zhuǎn)體的體積；4、體會(huì)定積分在物理中應(yīng)用（變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力沿直線做功）。教學(xué)重點(diǎn)：幾種曲邊梯形面積的求法。教學(xué)難點(diǎn)：定積分求體積以及在物理中應(yīng)用。教學(xué)過程：一、問題情境1、求曲邊梯形的思想方法是什么？2、定積分的幾何意義是什么？3、微積分基本定理是什么？二、數(shù)學(xué)應(yīng)用（一）利用定積分求平面圖形的面積例1、求曲線與

2、直線軸所圍成的圖形面積。答案：變式引申：1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。xyoy=－x2+4x-3答案：2、求由拋物線及其在點(diǎn)M（0，－3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。略解：，切線方程分別為、，則所求圖形的面積為5/53、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。略解：所求圖形的面積為xxOy=x2ABC4、在曲線上的某點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線方程.略解：如圖由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則由題可知有，所以切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程分別為總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸

3、所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：（1）畫圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；（2）對每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；（3）確定被積函數(shù)；（4）求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。3、幾種常見的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：（1）型區(qū)域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））；5/5②由一條曲線與直線以及軸所圍成的

4、曲邊梯形的面積：（如圖（2））；yabxyabxyabx③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3））；圖（1）圖（2）圖（3）（2）型區(qū)域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（4））；②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（5））；yabxyabxyabx③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，，然后利用求出（如圖（6））；圖（4）圖（5）圖（6）（二）、定積分求旋轉(zhuǎn)體體積5/5例2：求由曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：（1）分

5、割：將旋轉(zhuǎn)體沿軸方向?qū)^(qū)間[0,1]進(jìn)行等分；（2）對區(qū)間上的柱體以區(qū)間右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值的平方數(shù)作為底面圓半徑的平方，以作為圓柱的高，以此圓柱體積近似代替曲邊圓柱的體積，即；（3）求和；（4）逼近：當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，即趨近于0時(shí)，根據(jù)定積分的定義其極限即為旋轉(zhuǎn)體的體積。略解：（三）、定積分在物理中應(yīng)用(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程例3、A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開往站，電車開出ts后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點(diǎn)的速度為24m/s，從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開始剎車，經(jīng)ts后，速度為（24-1.2t）m

6、/s，在B點(diǎn)恰好停車，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時(shí)間。分析：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即略解：（1）設(shè)A到C的時(shí)間為t1則1.2t=24,t1=20(s),則AC＝（2）設(shè)D到B的時(shí)間為t21則24-1.2t2=0,t21=20(s),則DB＝（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時(shí)間為280(s),則所求時(shí)間為20+280+20=320（s）(2)、變力沿直線所作的功問題：物體在變力F(x)的作用

7、下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a點(diǎn)移動(dòng)到x=b點(diǎn)，則變力F(x)所做的功為:例3：如果1N能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，需做功（A）5/5A0.18JB0.26JC0.12JD0.28J略解：設(shè)，則由題可得，所以做功就是求定積分。五：回顧與小結(jié)：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積，即定積分在幾何中應(yīng)用，以及定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，要掌握幾種常見圖形面積的求法，并且要注意定積分的幾何意義，不能等同于圖形的面積，要注意微積分的基本思想的應(yīng)用與理解。六：課外作業(yè)1、一體化教學(xué)案2、創(chuàng)新訓(xùn)練5/5