專題二 第五講

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1、第五講　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)導(dǎo)數(shù)的物理意義：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，則這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于零恒成立．在區(qū)間上離散點處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù)y＝x＋sinx.3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值對可導(dǎo)函數(shù)而言，某點導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)

2、在該點取得極值的必要條件，但對不可導(dǎo)的函數(shù)，可能在極值點處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在(如函數(shù)y＝

3、x

4、在x＝0處)，因此對于一般函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)等于零既不是函數(shù)取得極值的充分條件也不是必要條件．4．閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小值．1．(2013·廣東)若曲線y＝kx＋lnx在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k＝________.答案?。?解析　∵y′＝k＋，∴y′

5、x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.2．(2013·

6、福建)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是(　　)A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的極小值點C．－x0是－f(x)的極小值點D．－x0是－f(－x)的極小值點答案　D解析　A錯，因為極大值未必是最大值．B錯，因為函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱，－x0應(yīng)是f(－x)的極大值點．C錯，函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，x0應(yīng)為－f(x)的極小值點．D對，函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點對稱，－x0應(yīng)為y＝－f(－x)的極小值點．3．(201

7、3·浙江)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是(　　)答案　B解析　從導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出，導(dǎo)函數(shù)值先增大后減小，x＝0時最大，所以函數(shù)f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x＝0時變化率最大．A項，在x＝0時變化率最小，故錯誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤；D項，變化率是越來越小的，故錯誤．B項正確．4．(2012·重慶)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(　　)A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．

8、函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)答案　D解析　利用極值的存在條件判定．當(dāng)x<－2時，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)>0；當(dāng)－20，得f′(x)<0；當(dāng)x>2時，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增函數(shù)，在(－2,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)有極大值f(

9、－2)和極小值f(2)．5．(2013·安徽)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有極值點x1，x2，且f(x1)＝x1，則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實根個數(shù)是(　　)A．3B．4C．5D．6答案　A解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知得x1≠x2，且若x1x2，如圖，同理得方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三個不同實根．題型一　導(dǎo)數(shù)意義及應(yīng)用例1　(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中

10、，點P在曲線C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標(biāo)為________．(2)函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．審題破題　(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列方程求交點P的坐標(biāo)．(2)本題是導(dǎo)數(shù)和數(shù)列的綜合，可先從函數(shù)圖象的切線方程出發(fā)，確定ak＋1和ak的關(guān)系．答案　(1)(－2,15)　(2)21解析　(1)因為y′＝3x2－10，設(shè)P(x，y)，則由已知有3x2－10＝2