專題一第五講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

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1、專題一第五講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線例1.已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是.解析：由得：即，∴∴，∴切線方程，即.例2.已知曲線，過原點的直線與曲線相切，求直線的方程.答案：或注意：“在點A處的切線”與“過點A的切線”的區(qū)別二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例3.（2010·山東）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)因此，,又所以曲線（2）因為,所以,令13①當(dāng)時，所以當(dāng)時，>0，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，<0，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.②當(dāng)時，由，即

2、，解得.當(dāng)時，，恒成立，此時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減;當(dāng)時，，時，,此時,函數(shù)單調(diào)遞減時，<0,此時,函數(shù)單調(diào)遞增時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時，由于,時，,此時,函數(shù)單調(diào)遞減；時，<0,此時,函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述當(dāng)時，在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時,在上單調(diào)遞減當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例4．函數(shù)在處有極值，則點為．13答案：（-4,11）四、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象例5．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程在上恰有兩個相異實根，求實數(shù)的取值范圍．解：依題意，得在區(qū)

3、間[O，2]上恰有兩個相異實根．令，則當(dāng)時，當(dāng)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．又只要如圖，即，可以使方程在區(qū)間上恰有兩個相異實根，故的取值范圍是五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例6．已知直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標(biāo)為．（1）求直線的方程及的值；（2）若（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的最大值；（3）當(dāng)時，求證：．解：(1)依題意知，直線是函數(shù)在點處的切線，故其斜率所以直線的方程為又因為直線與的圖像相切，所以由得13不合題意，舍去）(2)因為，所以當(dāng)時當(dāng)時因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因此，當(dāng)時取得最大值(

4、3)當(dāng)時.由(2)知：當(dāng)O時即因此，有.例7．(1)已知，試求函數(shù)的最小值；（2）若，求證：.解：（1）對于函數(shù)，求導(dǎo)得，由得，當(dāng)時，，函數(shù)是遞減函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)是遞增函數(shù)；所以當(dāng)時，函數(shù).（2）由第（1）題得：從而，，，三式相加得：13變題：由（1）知：，從而，，，三式相加，結(jié)合得：.聯(lián)想：在三角函數(shù)中，有公式，因此，若，且，則.類比：若，則13專題一第五講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用班級_________________姓名____________________一、填空題：1．如圖所示，有一圓錐形容器，其底面半徑等于圓

5、錐的高，若以的速度向該容器注水，則水深時水面上升的速度為2．等比數(shù)列中，，，函數(shù)，則=_________.3．已知函數(shù)滿足則函數(shù)的圖象在處的切線方程為．4．已知曲線上的一點則過點P的切線方程為．5．若曲線在點處的切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則______.6．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為．7．關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是．8．設(shè)函數(shù)若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．9．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．10．已知函數(shù)直線若當(dāng)時，函數(shù)的圖象在

6、直線的下方，則實數(shù)c的取值范圍為．11．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時，，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為_________.1312．設(shè)函數(shù)(n為正整數(shù))，則在［0,1］上的最大值為．二、解答題：13．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實數(shù)，（1）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為，求的值；（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點且與曲線相切的直線的方程．14．已知函數(shù)()=ln(1+)-+，(≥0).（1）當(dāng)=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；（2）求()的單調(diào)區(qū)間.1315．已知．（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）對一切恒成立，

7、求實數(shù)的取值范圍；（3）證明對一切，都有成立．1316．已知，點A(s,f(s)),B(t,f(t))（1）若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：當(dāng)

8、x

9、≤1時，有

10、

11、≤恒成立，求函數(shù)的解析表達式；（3）若0

12、在曲線上，①當(dāng)切點為P(2，1)時，切線的斜率故的方程為，即⑦當(dāng)點P不是切點時，設(shè)切點為，切線的斜率所以的方程為又點在上，所以所以整理并化簡得因為，故所以切線的方程為故所求切線的方程為或13(或者：由(1)知點A(O，1)為極大值點，所以曲線的點A處的切線為y=l，此切線恰好經(jīng)過點P(2，1)，符合題意．）14.（1）當(dāng)時，，由于，，所以曲線在點處的切線方程為即（2），.當(dāng)時，.所以，