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《高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教程第16講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教程第16講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用一、本講內(nèi)容本講進度，向量的數(shù)量積，數(shù)量積的應(yīng)用二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)要深刻理解向量數(shù)量積的定義：、=cos＜、＞.它是數(shù)（可正、可負，也可以為零），但不是向量，因此，·=·，λ（·）=·λ，·（+）=·=·，·=0（而不是?。┨貏e地，（·）≠·（·），因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量，除特殊情況外，兩者不相等。我們利用向量的數(shù)量積（又稱為點積）可以解決向量的夾角問題，特別地，利用向量的數(shù)量可以很方便地解決垂直問題，：⊥·=0，（，非零向量）co
2、s＜、＞是在上的射影，值得注意的是它仍是一個數(shù)（可正，可負，可以為0）而不是向量。特別地，·=2cos＜·=2，由此，可把點積與模長（距離）掛上鉤。三、典型的例題講解例1．證明三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB用向量證明一些三角問題，如正弦定理，余弦定理等很方便，但同學(xué)們卻覺得不好掌握，這里我們再看一個例子。=+，兩邊同等，2=·+·=cosB+cosC兩邊約去，可得=cosB+cosC，即a=ccosB+bcosC例2．平面內(nèi)有四點，O、A、B、C，記=，=，=若++=且·=·=·=
3、－1，試判斷△ABC的形狀，并求其面積.千萬不能由·=·約得到=，一是過程差無根據(jù)，二是合得到A、B、C當(dāng)同一點的荒謬結(jié)論。也不能由·=·+=·=－1得到===1，從而===1，圓為≠·，前者=
4、+cos<·＞
5、≤，等號當(dāng)且僅當(dāng)，共線且同面或，中有當(dāng)者其他條件當(dāng)然不是可有可無的，故應(yīng)出現(xiàn)向量和，于是我們想到·=·和·=·相加，得到了2·=（+）=－(+)2，進而有2=2=4·=0如無·=－1的條件就做不下去了，故在此時引入有2=2=4，因原來的條件都是、、的輪換對稱式，當(dāng)然想到2=2=4和2=2=
6、4，至此距解決問題已經(jīng)不遠了。例3．設(shè)、分別為方向與x軸，y軸的正向相同的單位向量，A、B、C為同一直線上的三點，O為坐標(biāo)原點，已知=－2tm，=n+，=5－，又知⊥，求m、n的值.求m、n兩個未知數(shù)，有⊥及A、B共線兩個條件，代入計算即可.例4．求證：三角形三角高線交于一點.設(shè)三頂點后，表示出三邊向量、、，設(shè)a、b兩邊的高線交點為H，表示、=0和·=0去證·=0，從而說明三高共點.為減少計算量，當(dāng)然應(yīng)當(dāng)選取合適的坐標(biāo)系，以一邊及其上的高所在直線上為兩坐標(biāo)軸較好。例5．已知三不共線向量、、兩兩所成
7、角相等，且=1，=2，=3，求++的模長及已知三向量間的夾角.要想把、、兩兩所成角相等體現(xiàn)出來，我們以同一點O為始點作三有向線段、、兩兩夾角相等，均為π.于是要求，只要先求(++)2即可.例6．已知、是兩個非零向量，求證：當(dāng)⊥(+x)時，
8、+x
9、最小.要求
10、+x
11、最小，等價于求何(+x)2最小.∵(+x)2=x22+2x·+2三項均為實數(shù)且平方項系數(shù)2=2＞0，故當(dāng)x=－時原式有最小值，此處，向量竟與二次函數(shù)掛上了鉤.例7．設(shè)、為相互垂直的兩個單位向量，問是滯存在整數(shù)k，使得向量=k+與向量=+k
12、夾角為比？證明你的結(jié)論.已知夾角應(yīng)使用向量的數(shù)量積：cos600=其中===(因⊥，∴·=0，因、為單位向量，∴2=1，2=1)，如求出k合整值或k無解或無整數(shù)解，問題均告解決.例8．已知、均為非零向量，且==的夾角.根據(jù)公式cos<，+＞==應(yīng)先求與·的值.==，也歸納到、上了，且、應(yīng)通過==，故2=2=(－)2=2+2―2·求出.例9．求證：菱形的兩條對角線互相垂直.菱形是邊長都相等的平行四邊形“邊長相等”怎么用？對菱形ABCD，記=·=，則=+，=－，·=(+)·(－)=2－2，到此，可看出
13、邊長相等的作用了.例10．單位向量、夾角為1200，求向量=2+3和向量=－2的夾角.求·，，時，都需用到、應(yīng)先行計算出來.四、鞏固練習(xí)1．已知向量=(－1)，=（，）（1）求證：⊥；（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使=+(t2－3)，=－k+t，且⊥，寫出函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；（3）在（2）中，確定函數(shù)k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.2．已知向量=(cosα，sinα)，=(cosβ，sinβ)又知=其中k＞0（1）用k表示、.（2）、的最小值，并求此時與的夾角。3．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點
14、，且滿足2+2=2+2=2+2，求證：O是△ABC的垂足.4．已知、為兩個非零向量，且+3與7－5互相垂直，－4與7－2互相垂直，求與的夾角.5．（1）已知=2，=1，與夾角為，求+與－2的夾角（2）已知=4，=3，且（3－）(－2)為最小.7．A、B、C、D為平面內(nèi)任意四點，證明2+2+2+2≥2+28．a(chǎn)1、a2、b1、b2∈R，求證：·≥.又等號何時成立？9．△ABC中，AB=AC，D為AB中點，E為△ADC的重心，O為△ABC的外心，求證：OE⊥CD10．在平面四邊形ABC
