高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第3講平面向量的數(shù)量積.ppt

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1、第3講平面向量的數(shù)量積【2014年高考會(huì)這樣考】1．考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算、化簡、向量平行與垂直的充要條件的應(yīng)用．2．以平面向量的數(shù)量積為工具，考查其他綜合應(yīng)用題，常與三角函數(shù)等知識(shí)結(jié)合．考點(diǎn)梳理1．平面向量的數(shù)量積②當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b_________．當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b_________．當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b__________．共線同向共線反向互相垂直(2)定義：已知兩個(gè)向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量_____________叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝__________，由定義可知零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(

2、3)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度

3、a

4、與b在a的方向上的射影_________的乘積，或b的長度

5、b

6、與a在b方向上的射影_________的乘積．

7、a

8、

9、b

10、cosθ

11、a

12、

13、b

14、cosθ

15、b

16、cosθ

17、a

18、cosθ設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．(1)數(shù)量積：a·b＝

19、a

20、

21、b

22、cosθ＝x1x2＋y1y2.2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(1)a·b＝b·a(交換律)；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律兩個(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)向量a與b的

23、夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．三點(diǎn)提醒(1)若a，b，c是實(shí)數(shù)，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對(duì)于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿足a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．(2)數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(a·b)·c與a·(b·c)不一定相等．A

24、．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．

25、a

26、＝

27、b

28、D．a(chǎn)＋b＝a－b解析由

29、a＋b

30、＝

31、a－b

32、，兩邊平方并化簡得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.答案B考點(diǎn)自測1．(2012·遼寧)已知兩個(gè)非零向量a，b滿足

33、a＋b

34、＝

35、a－b

36、，則下面結(jié)論正確的是()．A．30°B．60°C．120°D．150°答案C2．若非零向量a，b滿足

37、a

38、＝

39、b

40、，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為()．答案D答案－16【例1】?(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝________.[審題視點(diǎn)](1)直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可；(2

41、)由條件表示出a·b，然后找到關(guān)于k的等式進(jìn)行求解．考向一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算解析(1)依題意可得8a－b＝(6,3)，∴(8a－b)·c＝3×6＋3×x＝30，解得x＝4.(1)向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式a·b＝

42、a

43、

44、b

45、cosθ；二是坐標(biāo)公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡．【例2】?(1)已知向量a，b滿足a·b＝0，

46、a

47、＝1，

48、b

49、＝2，則

50、2a－b

51、＝________.[審題視點(diǎn)](1)利用

52、a

53、2＝a·a求解；(2)找出平行四邊形的面積與

54、a

55、·

56、b

57、的關(guān)系式．考向二向量的夾

58、角與向量的模(2)已知a與b是兩個(gè)非零向量，且

59、a

60、＝

61、b

62、＝

63、a－b

64、，則a與a＋b的夾角為________．解析(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

65、a

66、2－4a·b－3

67、b

68、2＝61.又

69、a

70、＝4，

71、b

72、＝3，∴a·b＝－6.【訓(xùn)練2】(1)已知

73、a

74、＝4，

75、b

76、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，則

77、a＋b

78、＝________.(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；(2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α.(其中k為非零實(shí)數(shù))[審題視點(diǎn)](1)證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問題，數(shù)量積為零即得證．(2)由模相等，列等式、化簡．(1)

79、證明∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝

80、a

81、2－

82、b

83、2＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，∴a＋b與a－b互相垂直．考向三平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例3】?已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明a⊥b，則只需證明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(2)當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明a·b＝0