接觸問題的非線性有限元分析.doc

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1、第五章接觸問題的非線性有限元分析5.1引言在工程結構中，經常會遇到大量的接觸問題?；疖囓囕喤c鋼軌之間，齒輪的嚙合是典型的接觸問題。在水利和土木工程中，建筑物基礎與地基，混凝土壩分縫兩側，地下洞室襯砌與圍巖之間，巖體結構面兩側都存在接觸問題。對于具有接觸面的結構，在承受荷載的過程中，接觸面的狀態(tài)通常是變化的，這將影響接觸體的應力場。而應力場的改變反過來又影響接觸狀態(tài)，這是一個非線性的過程。由于接觸問題對工程實踐的重要性，本章將作為專門問題進行研究。最早對接觸問題進行系統研究的是H.Hertz，他在1882年發(fā)表了《彈性接觸問題》一書中，提出經典的Hertz彈性接觸理論。后來Bouss

2、inesg等其他學者又進一步發(fā)展了這個理論。但他們都是采用一些簡單的數學公式來研究接觸問題，因而只能解決形狀簡單（如半無限大體）、接觸狀態(tài)不復雜的接觸問題。二十世紀六十年代以后，隨著計算機和計算技術的發(fā)展，使應用數值方法解決復雜接觸問題成為可能。目前，分析接觸問題的數值方法大致可分為三類：有限元法、邊界元法和數學規(guī)劃法。數學規(guī)劃法是一種優(yōu)化方法，求解接觸問題時，根據接觸準則或變分不等式建立數學模型，然后采用二次規(guī)劃或罰函數方法給出解答。邊界元方法也被用來求解接觸問題，1980年和1981年，Anderson先后發(fā)表兩篇文章，用于求解無摩擦彈性接觸和有摩擦彈性接觸問題。近年來雖有所發(fā)

3、展，但仍主要用于解決彈性接觸問題。就目前的發(fā)展水平來看，數學規(guī)劃法和邊界元法只適合于解決比較簡單的彈性接觸問題。對于相對復雜的接觸非線性問題，如大變形、彈塑性接觸問題，還是有限元方法比較成熟、比較有效。早在1970年，Wilson和Parsons提出一種位移有限元方法求解接觸問題。Chan和Tuba，Ohte等進一步發(fā)展了這類方法。它的基本思想是假定接觸狀態(tài)，求出接觸力，檢驗接觸條件，若與假定的接觸狀態(tài)不符，則重新假定接觸狀態(tài)，直至迭代計算得到的接觸狀態(tài)與假定狀態(tài)一致為止。具體做法是：對于彈性接觸的兩個物體，通過有限元離散，建立支配方程(5.1)式中，為初始的整體勁度矩陣，它與接觸

4、狀態(tài)有關，通常根據經驗和實際情況假定。是結點位移列陣，為結點荷載列陣。求解式（5.1），得到結點位移，再計算接觸點的接觸力，將和代入與假定接觸狀態(tài)相應的接觸條件，如果不滿足接觸條件，就要修改接觸狀態(tài)。根據修改后新的接觸狀態(tài)，建立新的勁度矩陣和支配方程(5.2)再由式（5.2）解得，進一步計算接觸力，將和代入接觸條件，驗算接觸條件是否滿足。這樣不斷的迭代循環(huán)，直至和滿足接觸條件為止，此時得到的解答就是真實接觸狀態(tài)下的解答。在以上的研究中，沒有考慮接觸面的摩擦力。不考慮摩擦力的接觸過程是一種可逆的過程，即最終結果與加載途徑無關。此時，只需要進行一次加載，就能得到最終穩(wěn)定的解。如果考慮接

5、觸面的摩擦力，接觸過程就是不可逆的，必須采用增量加載的方法進行接觸分析。1973年，Tusta和Yamaji的文章詳細討論了接觸過程的可逆性和不可逆性。從Wilson和Parsons的方法可看出，每一次接觸狀態(tài)的改變，都要重新形成整體勁度矩陣，求解全部的支配方程，既占內存，又費機時。實際上，接觸狀態(tài)的改變是局部的，只有與接觸區(qū)域有關的一小部分需要變動，為此又提出一些改進的方法。1975年，Francavilla和Zienkiewicz提出相對簡單的柔度法。圖5.1示出兩個相互接觸的物體A和B，假定A上有外力R作用，B有固定邊界。接觸面作用在A上的接觸力是，作用在B上的接觸力是，對于

6、二維問題，(5.3)這些接觸力是未知的，假定有m個接觸點對，則增加了4m個未知量，為此需要補充4m個方程?，F列出接觸點的柔度方程(5.4)其中，和分別是物體A和B在接觸點i處的位移，和分別表示物體A和B因j點作用單位力時在i點引起的位移（即柔度系數）所組成的柔度子矩陣，m1是外荷載作用的點數，為第k個荷載作用點上的荷載向量。如果物體A和B之間的接觸屬于連續(xù)接觸，則接觸條件為＝＋(5.5)(5.6)（5.5）和（5.6）是4m個補充方程，式中，是第i個接觸點對的初始間隙向量。由于式（5.6）的存在，令，未知量數目減少，增加的未知量剩下2m個。將式（5.4）和（5.6）代入（5.5）得

7、(5.7)式（5.7）共有2m個補充方程。對于滑動接觸和不接觸的自由邊界，同樣可根據相應的接觸條件列出與式（5.7）類似的補充方程求解。引入接觸條件后，接觸狀態(tài)變化時，計算對象的整體勁度矩陣不再改變，出現的問題是增加了未知量數，需要建立補充方程。但由于補充方程（5.7）中，、和不隨接觸狀態(tài)的改變而變化，而且接觸點的數目遠小于整體的結點數，因而可大大節(jié)約計算時間，提高了求解接觸問題的效率。另外一種提高接觸問題計算效率的方法是把接觸點對作為“單元”考慮。1979年，Oka