高中數(shù)學(xué) 2.3.1《等比數(shù)列》教案 新人教b版必修5

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1、等比數(shù)列教學(xué)內(nèi)容分析這節(jié)課是在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，運用同樣的研究方法和研究步驟，研究另一種特殊數(shù)列———等比數(shù)列．重點是等比數(shù)列的定義和通項公式的發(fā)現(xiàn)過程及應(yīng)用，難點是應(yīng)用．教學(xué)目標1.熟練掌握等比數(shù)列的定義、通項公式等基本知識，并熟練加以運用．2.進一步培養(yǎng)學(xué)生的類比、推理、抽象、概括、歸納、猜想能力．3.感受等比數(shù)列豐富的現(xiàn)實背景，進一步培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容由于是在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，運用同樣的方法和步驟，研究類似的問題，學(xué)生接受起來較為容易，所以應(yīng)多放手讓學(xué)生思考，并注意運用類比思想，這樣不僅有利于學(xué)生分清等差和等比數(shù)列的區(qū)別，而且可以鍛煉學(xué)生從多

2、角度、多層次分析和解決問題的能力．另外，與等差數(shù)列相比等比數(shù)列須要注意的細節(jié)較多，如沒有零項、ｑ≠0等，在教學(xué)中應(yīng)注意加以比較．教學(xué)設(shè)計一、問題情景在前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，在現(xiàn)實生活中，我們還會遇到下面的特殊數(shù)列：1.在現(xiàn)實生活中，經(jīng)常會遇到下面一類特殊數(shù)列．下圖是某種細胞分裂的模型．細胞分裂個數(shù)可以組成下面的數(shù)列：1，2，4，8，…2.一種計算機病毒可以查找計算機中的地址薄，通過電子函件進行傳播．如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，函件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依此類推．假設(shè)每一輪每一臺計算機都感染20臺計算機，那么，在不重復(fù)的情況下，這種病毒每一輪感染的計算機數(shù)構(gòu)成的數(shù)

3、列是1，20，202，203，…（3）除了單利，銀行還有一種支付利息的方式———復(fù)利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是通常說的“利滾利”．按照復(fù)利計算本利和的公式是本利和＝本金×（1＋利率）存期例如，現(xiàn)在存入銀行10000元錢，年利率是1.98%，那么按照復(fù)利，5年內(nèi)各年末得到的本利和分別是（計算時精確到小數(shù)點后2位）：表47-1時　間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010000×1.0198第2年10000×1.019810000×1.01982第3年10000×1.0198210000×1.01983第4年10000×1.01

4、98310000×1.01984第5年10000×1.0198410000×1.01985各年末的本利和（單位：元）組成了下面的數(shù)列：１００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５．問題：回憶等差數(shù)列的研究方法，我們對這些數(shù)列應(yīng)作如何研究？二、建立模型結(jié)合等差數(shù)列的研究方法，引導(dǎo)學(xué)生運用從特殊到一般的思想方法分析和探究，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)列的共同特點，從而歸納出等比數(shù)列的定義及符號表示：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等

5、比數(shù)列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即［問　題］1.ｑ可以為0嗎？有沒有既是等差，又是等比的數(shù)列？2.運用類比的思想可以發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列的定義是把等差數(shù)列的定義中的“差”換成了“比”，同樣，你能類比得出等比數(shù)列的通項公式嗎？如果能得出，試用以上例子加以檢驗．對于2，引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方法：等差數(shù)列通項公式為ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１與（ｎ－１）個ｄ的和，等比數(shù)列的通項公式應(yīng)為ａｎ等于ａ１與（ｎ－１）個ｑ的乘積，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的幾個例子都滿足通項公式．3.你如何論證上述公式的正確性．證法1：同等差數(shù)列———歸納法．證法2：類比等差數(shù)列，累乘可得，即各式

6、相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．歸納特點：（1）ａn是關(guān)于ｎ的指數(shù)形式．（2）和等差數(shù)列類似，通項公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四個量，知道其中三個量可求另一個量．三、解釋應(yīng)用［例　題］1.某種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，問：這種物質(zhì)的半衰期為多長？解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過ｎ年，剩留量是ａn．由已知條件，得數(shù)列｛ａn｝是一個等比數(shù)列，其中ａ1＝0.84，ｑ＝0.84．設(shè)ａn＝0.5，則0.84n＝0.5．兩邊取對數(shù)，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．用計算器計算，得ｎ≈4．答：這種物質(zhì)的半衰期大約為4年．2.一個等比數(shù)列的第3項和第4項

7、分別是12和18，求它的第1項與第2項．解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是ａ1，公比是ｑ，那么注：例1、例2體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，這也是有關(guān)等差、等比數(shù)列運算中常用的思想方法．3.已知數(shù)列｛ａn｝，｛bn｝是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么｛ａnbn｝是否為等比數(shù)列？如果是，證明你的結(jié)論；如果不是，說明理由．解：可以得到：如果｛ａn｝，｛bn｝是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么｛ａn·bn｝也是等比數(shù)列．證明如下：設(shè)數(shù)列｛ａn｝的公比為ｐ，｛bn｝的公比為ｑ，那么數(shù)列｛ａn·bn｝的第n項與第n＋1項分別為ａ1ｐn－1·ｂ1