定積分與微積分基本定理(2)

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1、東北師大附中2011—2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)（理科）第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案016定積分與微積分基本定理編寫教師：馮維麗審稿教師：高長(zhǎng)玉一、知識(shí)梳理（請(qǐng)閱讀教材選修2-2第38—67頁(yè)后再完成本學(xué)案）1.定積分概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式：，如果無限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記為：．其中叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，區(qū)間叫做積分區(qū)間，積分上限，積分下限，叫做被積式.2．定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由

2、直線，（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積（如右圖）.說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線，之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積取負(fù)號(hào)．3．定積分性質(zhì)（1）；（定積分的線性性質(zhì)）（2）（定積分的線性性質(zhì)）（3）（定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）4．微積分基本定理一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茲公式.（1）為了方便起見，還常用表示，即.（2）微積分基本定理表明，計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù)，通常我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出

3、.5．常見求定積分的公式（1）（2）（C為常數(shù)）（3）（4）（5）（6）（7）6.幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法（1）由三條直線、（）、軸，一條曲線所圍成的曲邊梯形的面積：；（2）由三條直線、（）、軸，一條曲線所圍成的曲邊梯形的面積：；（3）由兩條直線、（）、兩條曲線、所圍成的曲邊梯形的面積：.二、題型探究6探究一：定積分的計(jì)算題型Ⅰ——計(jì)算常見函數(shù)的定積分例1計(jì)算下列定積分：（1）；（2）；（3）.分析：對(duì)于（1）、（2），根據(jù)微積分基本定理，須由求導(dǎo)公式找出導(dǎo)數(shù)為，，，的函數(shù)，這就要求對(duì)基本求導(dǎo)公式非常熟悉.對(duì)于（3），我們要直接求的原函數(shù)比較困難，但我們可

4、以將先變式化為，再求積分，利用上述公式就較容易求得結(jié)果，方法簡(jiǎn)便易行.解：（1），且，，.（2），，.（3）.點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單的定積分計(jì)算只需熟記公式即可；較復(fù)雜函數(shù)的積分，往往難以直接找到原函數(shù)，常常需先化簡(jiǎn)、變式、換元變成基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算后，再求定積分.例2已知，，求函數(shù)的最小值.分析：這里函數(shù)、都是以積分形式給出的，我們可以先用牛頓—萊布尼茲公式求出與，再求出的最小值.解：，，當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)評(píng)：這是一道把積分上限函數(shù)、二次函數(shù)最值、參數(shù)混合在一起的綜合題，重點(diǎn)是要分清各變量關(guān)系.積分、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值、解析式交匯出題是近幾年高考命題熱點(diǎn)，把它們之間的相互關(guān)

5、系弄清是我們解此類問題的關(guān)鍵.題型Ⅱ——計(jì)算分段函數(shù)定積分例3求.解：首先是通過絕對(duì)值表示的分段函數(shù)，同時(shí)又是函數(shù)復(fù)合函數(shù)與的運(yùn)算式，所以我們?cè)谟?jì)算時(shí)必須先把積分區(qū)間分段，再換元積分或湊變量完成.解：，.，.點(diǎn)評(píng)：若被積函數(shù)含絕對(duì)值，往往化成分段函數(shù)分段積分，注意本題中，這實(shí)際是一種湊變量的思想，復(fù)合函數(shù)的積分通常可以湊變量完成，也可以換元完成.6探究二：定積分的應(yīng)用題型Ⅰ——求平面區(qū)域的面積例4求在上，由軸及正弦曲線圍成的圖形的面積.分析：因?yàn)樵谏?，，其圖象在軸上方；在上，，其圖象在軸下方，此時(shí)定積分為圖形面積的相反數(shù)，應(yīng)加絕對(duì)值才表示面積.解xy0p2p：作出

6、在上的圖象如右，與軸交于0、、，所求面積.點(diǎn)評(píng)：利用定積分求平面圖形的面積的步驟如下：第一步：畫出圖形，確定圖形范圍；第二步：解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限；第三步：確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；第四步：計(jì)算定積分，求出平面圖形面積.題型Ⅱ——定積分在物理方面的應(yīng)用例5汽車以的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等減速度剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？分析：汽車剎車過程是一個(gè)減速運(yùn)動(dòng)過程，我們可以利用定積分算出汽車在這個(gè)過程中所走過的路程，計(jì)算之前應(yīng)先算出這一過程所耗費(fèi)的時(shí)間和減速運(yùn)動(dòng)變化式.解：由題意，，，令得，，即5秒時(shí)

7、，汽車停車.所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為公里.答：汽車走了0.0375公里.tvaboV=v(t)點(diǎn)評(píng)：若作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，由定積分的物理意義可知，作變速運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)間內(nèi)的路程s是曲邊梯形（陰影部分）的面積，即路程；如果時(shí)，則路程.三、方法提升1.用定義求定積分的一般方法：（1）分割：等分區(qū)間；（2）近似代替：取點(diǎn)；（3）求和：；（4）取極限：.2.定積分的幾何意義、物理意義；3.利用微積分基本定理求定積分；4.變速直線運(yùn)動(dòng)問題：若作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，由定積分的物理意義可知，作變速運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)間內(nèi)的路程s是曲

8、邊梯形（陰