資源描述：
《格林公式曲線積分與路線無關(guān)性》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、§3格林公式曲線積分與路線無關(guān)性教學(xué)目的：1.掌握格林公式，理解格林公式的證明，掌握格林公式應(yīng)用的特殊技巧．2.掌握曲線積分與路線無關(guān)的條件，理解曲線積分與路線無關(guān)的條件的定理的證明，掌握曲線積分與路線無關(guān)的條件定理應(yīng)用的特殊技巧．教學(xué)重點(diǎn)：格林公式，曲線積分與路線無關(guān)的條件.教學(xué)難點(diǎn)：格林公式應(yīng)用的技巧，以及曲線積分與路線無關(guān)的條件定理應(yīng)用技巧.教學(xué)過程一、格林公式區(qū)域邊界的正方向的規(guī)定：略定理21.11若函數(shù)，在閉區(qū)域上連續(xù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有=，（1）這里是區(qū)域的邊界曲線，并取正方向．公式（1）稱為格林公式．證明按區(qū)域的形狀分三種情況來證明.（?。┤魠^(qū)域既是型又是型區(qū)
2、域（如圖）區(qū)域表示為：，又可表示為：====，同理可證=，上述兩式相加即得8§3格林公式曲線積分與路線無關(guān)性教學(xué)目的：1.掌握格林公式，理解格林公式的證明，掌握格林公式應(yīng)用的特殊技巧．2.掌握曲線積分與路線無關(guān)的條件，理解曲線積分與路線無關(guān)的條件的定理的證明，掌握曲線積分與路線無關(guān)的條件定理應(yīng)用的特殊技巧．教學(xué)重點(diǎn)：格林公式，曲線積分與路線無關(guān)的條件.教學(xué)難點(diǎn)：格林公式應(yīng)用的技巧，以及曲線積分與路線無關(guān)的條件定理應(yīng)用技巧.教學(xué)過程一、格林公式區(qū)域邊界的正方向的規(guī)定：略定理21.11若函數(shù)，在閉區(qū)域上連續(xù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有=，（1）這里是區(qū)域的邊界曲線，并取正方向．公式（1
3、）稱為格林公式．證明按區(qū)域的形狀分三種情況來證明.（?。┤魠^(qū)域既是型又是型區(qū)域（如圖）區(qū)域表示為：，又可表示為：====，同理可證=，上述兩式相加即得8=.（ⅱ）若區(qū)域由一條按段光滑的閉曲線圍成，用幾條光滑曲線將它分成有限個(gè)既是型又是型子區(qū)域，然后逐塊應(yīng)用（?。┑玫剿母窳止?，并相加即可，如圖中所示的情況則有=++=++=．（ⅲ）若區(qū)域?yàn)橛扇舾蓷l閉曲線所圍成的多連通區(qū)域，如圖為例，可添加直線段，把區(qū)域轉(zhuǎn)化為（ⅱ）的情況來處理．===．格林公式的便于記憶的形式=．例1計(jì)算，其中曲線是半徑為的圓在第一象限的部分．解半徑為的圓在第一象限的部分為區(qū)域，由格林公式===0+0=,所以8==．
4、xyoLAB例2計(jì)算，其中為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域的邊界．解格林公式條件滿足，故=====0.例3計(jì)算拋物線與軸所圍的面積.解==+=+0=．二、曲線積分與路徑的無關(guān)性單連通區(qū)域的概念：若對(duì)平面區(qū)域內(nèi)的任一封閉曲線，皆可不經(jīng)過以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于內(nèi)的某一點(diǎn)，稱為單連通區(qū)域．否則稱為復(fù)連通區(qū)域．DD單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域定理21.12設(shè)是單連通閉區(qū)域．若函數(shù)，在8內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)：（?。?duì)于內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線，有=0；（ⅱ）對(duì)于內(nèi)任一按段光滑的曲線，曲線積分與路線無關(guān)．只與的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān)；（ⅲ）是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即；（ⅳ）在內(nèi)處處成立．證明（ⅰ
5、）（ⅱ）如圖===0,所以=．（ⅱ）（ⅲ）設(shè)為內(nèi)一定點(diǎn)，為內(nèi)任意一點(diǎn)，由（ⅱ）曲線積分與路線的選擇無關(guān)，故當(dāng)在內(nèi)變動(dòng)時(shí)，其積分值是的函數(shù)，即有=．取充分小，使，由于積分與路線無關(guān)故函數(shù)對(duì)于的偏增量==,其中直線段平行于軸由積分中值定理可得====,其中8，由在上的連續(xù)性==.同理可證=．因此（ⅲ）（ⅳ）設(shè)存在，使得,所以=，=，因此=，=,因，在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，所以=,從而在內(nèi)每一點(diǎn)處有=．（ⅳ）（?。┰O(shè)為內(nèi)任一按段光滑封閉曲線，記所圍的區(qū)域?yàn)椋捎跒閱芜B通區(qū)域，所以區(qū)域含在內(nèi)．應(yīng)用格林公式及在內(nèi)恒有=的條件，就得到==0.以上證明了所述四個(gè)條件是等價(jià)的．注1：第二十章§2中的
6、例1，因不滿足=，故積分與路線有關(guān)，而例2中=滿足，故積分與路線無關(guān)．注2：條件單連通區(qū)域是證明要的本節(jié)例2中，8=0在除去原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是成立，但為繞原點(diǎn)的封閉曲線時(shí)，所圍成的區(qū)域包含原點(diǎn)，=成立的區(qū)域不是單連通的，因而閉曲線積分可以不為零．事實(shí)上設(shè)為繞原點(diǎn)一周的圓時(shí)，：，，,則有=．若函數(shù)具有性質(zhì),稱為的一個(gè)原函數(shù).函數(shù)，滿足定理21.12時(shí)，在內(nèi)的原函數(shù)可用路線積分的方法求出．例4應(yīng)用曲線積分求的原函數(shù).解=，=在整個(gè)平面上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且==,故積分與路線無關(guān)，取原點(diǎn)為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，取如圖的折線為積分路線，則有的原函數(shù)為=．8圖21-19作業(yè)1，2，5，6.8
