定積分及應用(1)

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1、第六章定積分及其應用習題6-11、利用定積分的定義計算下列定積分：(1)；解：①令,因此,②取為的等分,此時有,,③取,于是,④.(2).解：①令,因此,②取為的等分,此時有,,③取,于是,④.2、利用定積分的幾何意義,說明下列等式：(1)；解：因,及圍成的三角形的面積為,因此由定積分的幾何意義知.(2)；解：因圓形的面積為,那么,及圍成的是圓形在第一象限的部分,其面積當然為,因此由定積分的幾何意義知.(3)；解：因為奇函數(shù),那么由,,圍成的面積為,而由,,圍成的面積為,由定積分的幾何意義知,兩個面積大小相等,符號相反,因此.(4).解：因為偶函數(shù),那么由,,圍成的面積為

2、,而由,,圍成的面積為,由定積分的幾何意義知,兩個面積大小相等,符號相同,因此.3、討論狄利克雷函數(shù)在區(qū)間上的可積性.解：取為的等分,此時有,,取為中的某個有理數(shù),為中的某個無理數(shù),于是,,由于,,于是在上的不可積.4、用定積分表示下列極限：(1)；解：.其中：①,,②取為的等分,此時有,,?、廴?于是,　④.(2)；解：.其中：①,,②取為的等分,此時有,,?、廴?于是,?、?習題6-21、估計下列積分的值：(1)；解：,,,,那么,.(2)；解：,,,,,那么,.(3)；解：,,,,那么,,.(4).解：,,,,那么,,.2、比較下列各題中的兩個積分的大小：(1),；

3、解：由于,,所以.(2),；解：由于,,所以.(3),；解：由于,,所以.(4),；解：由于,,所以.(5),.解：由于,,所以.3、設及在上連續(xù),證明：(1)若在上,且,則；證明：因在上連續(xù),,且,則,這樣,,那么.(2)若在上,且,則在上；證明：由(1)顯然.(3)若在上,且,則若在上.證明：由條件知在上,,且,由(2)知在上,即.習題6-31、計算下列各導數(shù)：(1)；解：.(2)；解：.(3).解：.2、計算下列各積分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12),其中解：.3、求下列極限：(1)；(2)；.4

4、、設,求,.解：顯然,于是,.5、求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).解：方程兩端對求導,得,所以.6、求函數(shù)的極值.解：令,得,由于當時,,當時,,所以函數(shù)有極小值.7、設在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,證明函數(shù)在內(nèi)的二階導數(shù).題目有誤：例如,設,,有,,.習題6-41、計算下列定積分：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).(11).(12).(13).(14).2、利用奇偶性計算下列定積分：(1).(2).3、證明下列各題：(1),；證明：.(2)；證明：.(3).證明：因,所以.證明：.證明：.習題6-51、計算下列定積分：(1).(2

5、).(3).(4).(5).(6).(7),.(8).(9).(10).(11),,.2、利用遞推公式計算：(1)；解：由于,于是.(2).解：.習題6-61、判別下列各廣義積分的收斂性,如果收斂計算廣義積分的值：(1)；解：由于,,故積分收斂,且.(2)；解：由于,,故積分發(fā)散.(3)；解：,積分收斂.(4)；解：由于,有,于是,積分收斂.(5)；解：,積分收斂.(6)；解：,積分收斂.(7)；解：由,知發(fā)散,故積分發(fā)散.(8)；解：,積分收斂.2、當為何值時,廣義積分收斂？當為何值時,這廣義積分發(fā)散？當為何值時,這廣義積分取得最小值？解：(1)當時,,積分發(fā)散；(2)

6、當時,,積分發(fā)散；(3)當時,,積分收斂,作,令得,當時,,當時,,可見當時,取得最大值,于是當時,積分取得最小值.3、用Г－函數(shù)表示下列積分,并計算積分值[已知](1),　(為自然數(shù))；(2)；(3).習題6-71、求由下列曲線所圍圖形的面積：(1),；解：由,得或,.(2),,；解：.(3),；解：由,得或,.(4),(兩部分都要計算)；解：由,得或,,.(6)與,；解：.(7),,；解：.(8),,,().解：.2、求由下列各題中的曲線所圍圖形繞指定軸旋轉的旋轉體的體積：(1),,繞軸、軸；解：,.(2),繞軸；解：,,,.(3)繞軸；解：,,,.(4)繞().解：

7、,,,,.3、用平面截面積已知的立體體積公式計算下列各題中立體的體積：(1)以半徑為的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為的正劈錐體．解:,,.(2)半徑為的球體中高為的球缺．解:,,.(3)底面為橢圓的橢圓柱體被通過軸且與底面夾角()的平面所截的劈形立體．解:,.習題6-81、已知邊際成本為,固定成本為,求總成本函數(shù).解：因,所以.2、已知邊際收益,求收益函數(shù).解：.3、已知邊際成本為,求當產(chǎn)量由增加到時,應追加的成本數(shù).解：應追加的成本數(shù)為.4、已知邊際成本為,邊際收益為,求最大利潤(設固定成本為0).解：,,于是,