教案-定積分及應(yīng)用

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1、第五章定積分及其應(yīng)用§5.1定積分概念與性質(zhì)定積分的概念是從自然科學(xué)和大量實(shí)際問題中抽象出來的，比如求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題、平面圖形的面積等等。雖然他們的實(shí)際意義各不相同，但求解的思路和方法卻是類似的。我們從求曲邊梯形的面積談起。一、引例求曲邊梯形的面積：曲邊梯形——是指在直角坐標(biāo)系下，由閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，與三條直線，與（軸）所圍成的平面圖形叫曲邊梯形。（如圖5-1所示）圖5-1圖5-2下面討論如何計(jì)算曲邊梯形的面積：解決這個(gè)問題的困難之處在于曲邊梯形的上部邊界是一條曲線，而在初等數(shù)學(xué)中，我們只會(huì)求如矩形面積、三角形面積、梯形面積等。如圖5-2所示。若把曲邊梯形分割成許多細(xì)小的曲邊梯

2、形，然后用我們易求的矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，則大曲邊梯形的面積的近似值就是所有小矩形的面積之和。顯然，若分割的越細(xì)，小曲邊梯形的寬度越小，小矩形和小曲邊梯形的近似程度就越高，誤差就越小。當(dāng)所有的小曲邊梯形的寬度都趨于零時(shí)，則所有小矩形面積之和的極限值就是這個(gè)大曲邊梯形面積的精確值了。按照上述思路，計(jì)算曲邊梯形的面積一般要經(jīng)過“分割——取近似；求和——取極限”這四個(gè)步驟來完成。20第五章定積分及應(yīng)用第一步：分割（如下圖）在區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)：即把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間：（），每個(gè)小區(qū)間的長度記為：（），過每個(gè)分點(diǎn)作平行y軸的直線，則把整個(gè)曲邊梯形分成了個(gè)小曲邊梯形，第個(gè)小曲邊梯形面積

3、為：（），則大曲邊梯形的面積為：；第二步：取近似（用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。）在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，小矩形面積：以為底，以為高就可以近似的代替小曲邊梯形的面積，即（）；第三步：求和（用小矩形面積的和近似代替大曲邊梯形的面積）個(gè)小矩形面積的和：即：第四步：取極限（求出曲邊梯形面積的精確值）20第五章定積分及應(yīng)用當(dāng)分割越來越細(xì)的時(shí)候，每個(gè)小曲邊梯形的寬度都趨近于0。為了便于描述，取小區(qū)間寬度的最大值趨于0時(shí)，和式的極限值就是曲邊梯形面積的精確值，——此為曲邊梯形的面積按照上述思路，計(jì)算曲邊梯形的面積一般要經(jīng)過“分割——取近似；求和——取極限”這四個(gè)步驟來完成。歸納求曲邊梯形面

4、積求法：曲邊梯形面積是用一個(gè)和式極限表達(dá)的。計(jì)算方法歸納為四步：⑴分割——任取分點(diǎn)；⑵取近似——以直代曲；⑶求和——求近似值；⑷取極限——由近似過渡到精確值。拋開問題的具體意義，只考慮定義在區(qū)間的函數(shù)，就可以抽象出定積分的定義。一、定積分概念20第五章定積分及應(yīng)用1、定積分定義定義：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，任取分點(diǎn)，把區(qū)間分割成個(gè)小區(qū)間（），其長度記為：，（）并記：，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)（），做乘積的和式，（），若時(shí)，若上和式極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并稱此極限值為在上的定積分，記作：，即：，其中：——為積分號(hào)，——為被積函數(shù)，——為被積表達(dá)式，——為積分變量，——為積分區(qū)間，——分別稱

5、為積分下限和積分上限。由定積分的定義，上面引例可表示為定積分：由閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，與直線，與軸所圍成的曲邊梯形的面積為：注意：20第五章定積分及應(yīng)用（1）定義中區(qū)間的分法和的取法是任意的，即對(duì)區(qū)間無限細(xì)分。（2）定積分是和式的極限值，是一個(gè)常量，這個(gè)常量僅與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有：。（3）如果函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分存在,我們就說f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，否則稱不可積。1、定積分存在條件（1）若在上連續(xù)，則在上可積。（2）若在上有界，且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則在上可積。2、定積分幾何意義由定積分的定義以及引例1可知，曲邊梯形的面積

6、就是在區(qū)間的定積分，這就是定積分的幾何意義。（1）在閉區(qū)間上，若函數(shù)，則定積分在幾何上表示由曲線，直線與x軸所圍成的曲邊梯形的面積；（2）在閉區(qū)間上，若函數(shù)，則定積分在幾何上表示由曲線，直線與x軸所圍成的曲邊梯形面積的負(fù)值；（3）若在上的值有正也有負(fù)，如圖5-3所示，則定積分表示介于20第五章定積分及應(yīng)用軸、曲線及直線之間各部分面積的代數(shù)和。即在軸上方的圖形面積減去軸下方的圖形面積：yOy=f(x)xba圖5-3幾何意義：定積分在幾何上表示為曲邊梯形面積的代數(shù)和。曲邊梯形位于x軸上方取正值，位于x軸下方取負(fù)值。（）例1利用定積分的幾何意義求。解畫出被積函數(shù)在區(qū)間上的圖形，由圖5-4可看出

7、，在區(qū)間上，由曲線，軸、軸所圍成的圖5-4曲邊梯形是單位圓，所以由定積分的幾何意義可得。20第五章定積分及應(yīng)用在引例1中求曲邊梯形的面積是將區(qū)間無限細(xì)分，則相應(yīng)地曲邊梯形被分為無窮多個(gè)小豎條?，F(xiàn)考慮以任意一點(diǎn)為左端點(diǎn)的小豎條，其底邊為（），如圖5-5所示。在無限細(xì)分的條件下，小豎條的面積就近似等于以為高，以為底的小矩形的面積，記作，稱為面積微元（簡稱微元）。圖5-5將這無窮多個(gè)極其微小的面積由到“積累”起來，就成為總面積，也就是定積