定積分的應用教案

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1、高等數(shù)學教案§6定積分的應用第六章定積分的應用教學目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積）。3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學重點：1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學難點：1、截面面積為已知的立體體積。2、引力。§6.1定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積:設y=f(x)30(x?[a,b]).如果說積分,

2、是以[a,b]為底的曲邊梯形的面積,則積分上限函數(shù)就是以[a,x]為底的曲邊梯形的面積.而微分dA(x)=f(x)dx表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值DA?f(x)dx,f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素.以[a,b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式,以[a,b]為積分區(qū)間的定積分:.一般情況下,為求某一量U,先將此量分布在某一區(qū)間[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函數(shù)U(x)表示,再求這一量的元素dU(x),設dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx為被積表達式,以[a,b]為積分區(qū)間求定積分即得.用這一方法求一量的值的

3、方法稱為微元法(或元素法).重慶三峽學院高等數(shù)學課程建設組高等數(shù)學教案§6定積分的應用§6.2定積分在幾何上的應用一、平面圖形的面積1．直角坐標情形設平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y=f下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成,則面積元素為[f上(x)-f下(x)]dx,于是平面圖形的面積為.類似地,由左右兩條曲線x=j左(y)與x=j右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設平面圖形的面積為.例1計算拋物線y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積.解(1)畫圖.(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:[0,1].(3)確定上下曲線:.(4)計算積分.例2計算拋物線y2=

4、2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積.解(1)畫圖.(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[-2,4].(3)確定左右曲線:.(4)計算積分.例3求橢圓所圍成的圖形的面積.解設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍,橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為[0,a].因為面積元素為ydx,所以.橢圓的參數(shù)方程為:x=acost,y=bsint,于是重慶三峽學院高等數(shù)學課程建設組高等數(shù)學教案§6定積分的應用.2．極坐標情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素:由曲線r=j(q)及射線q=a,q=b圍成的圖形稱為曲邊扇形.曲邊扇形的面積元素為.曲邊扇形的面積為.例4.計算阿基米德螺線r=

5、aq(a>0)上相應于q從0變到2p的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.解:.例5.計算心形線r=a(1+cosq)(a>0)所圍成的圖形的面積.解:.二、體積1．旋轉體的體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體.這直線叫做旋轉軸.常見的旋轉體:圓柱、圓錐、圓臺、球體.旋轉體都可以看作是由連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、a=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體.設過區(qū)間[a,b]內點x且垂直于x軸的平面左側的旋轉體的體積為V(x),當平面左右平移dx后,體積的增量近似為DV=p[f(x)]2dx,于是體積元素為dV=p[f(x)]2d

6、x,旋轉體的體積為.例1連接坐標原點O及點P(h,r)的直線、直線x=h及x軸圍成一個直角三角形.將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體.計算這圓錐體的體積.解:直角三角形斜邊的直線方程為.所求圓錐體的體積為重慶三峽學院高等數(shù)學課程建設組高等數(shù)學教案§6定積分的應用.例2.計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積.解:這個旋轉橢球體也可以看作是由半個橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體.體積元素為dV=py2dx,于是所求旋轉橢球體的體積為.例3計算由擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,直線y=0所圍成的圖形分別

7、繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.解所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為=5p2a3.所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積是兩個旋轉體體積的差.設曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y).則=6p3a3.2．平行截面面積為已知的立體的體積設立體在x軸的投影區(qū)間為[a,b],過點x且垂直于x軸的平面與立體相截,截面面積為A(x),則體積元素為A(x)dx,立體的體積為.例4一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角a.計算這平面截圓柱所得立體的體積.解:取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸,底面上過圓中心、且垂直于x軸