定積分的幾何應(yīng)用教案

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1、4.3.1定積分在幾何上的應(yīng)用教材：《高等數(shù)學(xué)》第一冊第四版，四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室，2009第四章第三節(jié)定積分的應(yīng)用教學(xué)目的：1.理解掌握定積分的微元法；2.會用微元法計算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。教學(xué)重點：定積分的微元法。教學(xué)難點：計算平面圖形的面積、立體體積、平面曲線弧長、旋轉(zhuǎn)曲面面積時的微元如何選取和理解。教學(xué)時數(shù)：3學(xué)時教學(xué)過程設(shè)計：通過大量例題來理解用微元法求定積分在幾何上的各種應(yīng)用。部分例題：(1)求平面圖形的面積由定積分的定義和幾何意義可

2、知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。例如：求曲線和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。所以該曲邊梯形的面積為(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積(I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a

3、(y)與直線y=c、y=d(c

4、成的，因此橢圓所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(3)求平面曲線的弧長(I)、設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出其中在上連續(xù)，則該曲線弧的長度為。(Ⅲ)設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為，其中在上連續(xù)，則該曲線弧的長度為。例如：求曲線從x=l到x=e之間一段曲線的弧長。解：，于是弧長微元為，。所以，所求弧長為：。