伴隨矩陣的性質(zhì)及運(yùn)用

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1、伴隨矩陣的性質(zhì)及運(yùn)用鄧文斌09數(shù)計(jì)（2）班電話：13697032201摘要伴隨矩陣是矩陣的重要概念，有它可以推導(dǎo)出方陣的逆矩陣的計(jì)算公式從而解決方陣求逆的問(wèn)題。同時(shí)伴隨矩陣的性質(zhì)也相當(dāng)重要，本文列舉了伴隨矩陣的若干性質(zhì)及給出了相關(guān)證明，最后給出了用性質(zhì)解決問(wèn)題。關(guān)鍵字：矩陣；伴隨矩陣；性質(zhì)；運(yùn)用引言因?yàn)榘殡S矩陣是學(xué)習(xí)矩陣的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)在計(jì)算中經(jīng)常出現(xiàn)把矩陣的伴隨矩陣看作一般的一個(gè)矩陣來(lái)研究.給出了伴隨矩陣的秩、伴隨矩陣的轉(zhuǎn)置、伴隨矩陣的特征值、幾個(gè)特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)以及伴隨矩陣的其他性質(zhì).這些性質(zhì)能幫我們方便解決在計(jì)算矩陣時(shí)遇到的問(wèn)題.1.伴隨矩陣的定義設(shè)是矩

2、陣A=中元素的代數(shù)余子式，矩陣=稱為A的伴隨矩陣。A的伴隨矩陣有兩步驟定義：（1）把A的每個(gè)元素都換成它的代數(shù)余子式，（代數(shù)余子式定義：在一個(gè)n級(jí)行列式D中，把元素第i行第j列元素（i，j=1,2，。。。。n）所在的行與列劃去后，剩下的個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成一個(gè)n-1階行列式，稱為元素的余子式，帶上符號(hào)稱為的代數(shù)余子式，記作。）（2）將所得到的矩陣轉(zhuǎn)置便得到A的伴隨矩陣。2.伴隨矩陣的實(shí)例2.1二階伴隨矩陣的求法設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，則有A可得（i，j=1,2）為代數(shù)余子式則A的伴隨矩陣為=2.2三階伴隨矩陣的求法對(duì)于三階矩陣首先求出各代數(shù)余子式A11=(-1)^2*(a2

3、2*a33-a23*a32)=a22*a33-a23*a32A12=(-1)^3*(a21*a33-a23*a31)=-a21*a33+a23*a31A13=(-1)^4*(a21*a32-a22*a31)=a21*a32-a22*a31A21=(-1)^3*(a12*a33-a13*a32)=-a12*a33+a13*a32……A33=(-1)^6*(a11*a22-a12*a21)=a11*a22-a12*a21然后伴隨矩陣就是3.伴隨矩陣的性質(zhì)3.1，E為n階單位矩陣。3.2矩陣A式可逆矩陣的充分必要條件是A非退化，而（）證明：當(dāng)，由，可知，A可逆，且反過(guò)來(lái)，如果A可

4、逆，那么有使兩邊去行列式，得因而，即A非退化。該性質(zhì)用來(lái)直接求逆矩陣，對(duì)于求逆矩陣和矩陣證明有用。3.3若A為非奇異矩陣，則證明：因?yàn)?，由兩邊取逆可得，故另一方面，由，有可得綜上，該性質(zhì)說(shuō)明了A的逆你伴隨矩陣和A的聯(lián)系。1.伴隨矩陣的性質(zhì)4.1令A(yù),B為n階矩陣，則（1）A對(duì)稱（2）A正交（3）若A與B等價(jià)，則（4）若A與B相似，則（5）若A與B合同，則（6）A=B；（7）A正定（8）A為可逆矩陣（9）如果A是可逆矩陣，那么A為反對(duì)稱證明：這里只證（1），（2），其余的這里就不再證明了。(1);(2)因?yàn)锳是正交矩陣，故是正交矩陣.4.2，其中A是n階方陣（n2）證明：若若

5、，這時(shí)秩1，，而也有綜上得4.3設(shè)A為n階矩陣，則秩=證明:事實(shí)上，當(dāng)秩A=n，即A可逆時(shí)，由于，故也是可逆的，即秩=n當(dāng)秩A=n-1時(shí)，有，于是，，從而秩；又因秩A=n-1，所以至少有一個(gè)代數(shù)余子式，從而又有秩，于是秩=1當(dāng)時(shí)，=0，即此時(shí)秩=04.4若A=，則證明：==4.5設(shè)k為常數(shù)，證明：。4.6當(dāng)A可逆時(shí)，。證明：由，。而，故結(jié)論成立。4.7證明：當(dāng)=0時(shí)，秩=0，=0，當(dāng)時(shí)，4.8=證明：=而，故結(jié)論成立。4.9若A為正交矩陣，則也是正交矩陣。證明：因?yàn)锳為正交矩陣，則于是故也是正交矩陣。4.10設(shè)為n階可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則為的特征值。證明：，又為的特征值

6、，故存在非零向量a，使即從而，故為的特征值。4.11若A是正定矩陣,則也是正定矩陣。證明　首先正定矩陣有以下結(jié)論:A是正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全為正。不妨設(shè)、為A的特征值,若A是正定矩陣,則λ>0,i=1,2,…,n,

7、A

8、>0且A可逆。因?yàn)?

9、A

10、,所以的特征值為:

11、，由以上的條件知,的所有特征值全都為正。所以也是正定矩陣。5伴隨矩陣的應(yīng)用5.1若，求。解：A=，，，由3.2性質(zhì)得。此題比較常見求A的逆矩陣問(wèn)題5.2設(shè).解：由，因?yàn)楸绢}所以.此題是求A的逆矩陣的伴隨矩陣，若用伴隨矩陣的定義求解則太復(fù)雜5.1已知3階矩陣A的逆矩陣為試求伴隨矩陣的逆矩陣.解

12、：，，又性質(zhì)3.3得，，所以。此題把求A的伴隨矩陣的逆矩陣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求A的逆矩陣的伴隨矩陣問(wèn)題。5.2若，則求。解：，又，得，。5.4已知為一三階可逆矩陣，它的伴隨矩陣為，且，求.解.5.5、已知和均為階矩陣，相應(yīng)的伴隨矩陣分別為和，分塊矩陣，求的伴隨矩陣.解由得，5.6設(shè)為一個(gè)3階矩陣，且已知，求.解因?yàn)?，所?5.7已知都是階方陣，.解5.8已知為階可逆矩陣,且，化簡(jiǎn).解因?yàn)椋?，所?.9已知和為三階可逆矩陣，且，，求.解經(jīng)計(jì)算可得，所以5.10設(shè)、為三階相似矩陣，的特征值為1，1，3，求.解因?yàn)榈奶卣髦禐?/p>