《中值定理證明》word版

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1、中值定理首先我們來看看幾大定理：1、介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

2、者是它的幾階導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，那么該函數(shù)或者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對(duì)于在最大值和最小值之間的任何一個(gè)值，必存在一個(gè)變量使得該值等于變量處函數(shù)值。2、零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，結(jié)論是開區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.3、羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);（3）、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b

3、).那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(

4、理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立。但是在開區(qū)間上也是滿足的，下面我們來證明下其在開區(qū)間內(nèi)也成立，即定理變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得考研數(shù)學(xué)解題思路——教你沖刺數(shù)學(xué)140+http://dl.vmall.com/c0alymktae證明：設(shè)，因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上連續(xù)且在開區(qū)間上可導(dǎo)（導(dǎo)函數(shù)即為）。則對(duì)由拉格朗日中值定理有：使得而所以使得。在每次使用積分中值定理的時(shí)候，如果想在開區(qū)間內(nèi)使用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內(nèi)成立即可

5、。千萬不可直接運(yùn)用，因?yàn)檎n本給的定理是閉區(qū)間。定理運(yùn)用：1、設(shè)在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)函數(shù)，且.證明：(1)使(2)使證明：先看第一小問題：如果用積分中指定理似乎一下子就出來了，但有個(gè)問題就是積分中值定理是針對(duì)閉區(qū)間的。有的人明知這樣還硬是這樣做，最后只能是0分。具體證明方法在上面已經(jīng)說到，如果要在開區(qū)間內(nèi)用積分中指定理，必須來構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理證明其在開區(qū)間內(nèi)符合。（1）、令則由題意可知內(nèi)可導(dǎo).則對(duì)由拉格朗日中值定理有：(2)、對(duì)于證明題而言，特別是真題第一問證明出來的結(jié)論，往往在第二問中都會(huì)有運(yùn)用，在做第二問的時(shí)候我們不要忘記了

6、第一問證明出來的東西，我們要時(shí)刻注意下如何將第一問的東西在第二問中進(jìn)行運(yùn)用：考研數(shù)學(xué)解題思路——教你沖刺數(shù)學(xué)140+http://dl.vmall.com/c0alymktae第二問是要證明存在點(diǎn)使得函數(shù)二階倒數(shù)為0，這個(gè)很容易想到羅爾定理來證明零點(diǎn)問題，如果有三個(gè)函數(shù)值相等，運(yùn)用兩次羅爾定理那不就解決問題啦，并且第一問證明出來了一個(gè)等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么問題就解決了。第一問中已經(jīng)在(0,2)內(nèi)找到一點(diǎn)，那么能否在(2,3)內(nèi)也找一點(diǎn)滿足結(jié)論一的形式呢，有了這樣想法，就得往下尋找了，，看到這個(gè)很多人會(huì)覺得熟悉的，和介值定理很像，下面就來

7、證明：上連續(xù)，則在上也連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必存在最大值和最小值，分別設(shè)為M,m;則從而，，那么由介值定理就有：則有羅爾定理可知：，Ps：本題記得好像是數(shù)三一道真題，考察的知識(shí)點(diǎn)蠻多，涉及到積分中值定理，介值定理，最值定理，羅而定理，思路清楚就會(huì)很容易做出來。2、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1.證明:本題第一問較簡(jiǎn)單，用零點(diǎn)定理證明即可。（1）、首先構(gòu)造函數(shù)：由零點(diǎn)定理知：考研數(shù)學(xué)解題思路——教你沖刺數(shù)學(xué)140+http://dl.vmall.com/c0alymktae(2)、初看本問貌似無從下手，但是我們始

8、終要注意，對(duì)于真題這么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念}目，他的