中值定理證明.doc

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1、中值定理首先我們來看看幾大定理：1、介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

2、階導(dǎo)函數(shù)在某個閉區(qū)間上連續(xù)，那么該函數(shù)或者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對于在最大值和最小值之間的任何一個值，必存在一個變量使得該值等于變量處函數(shù)值。2、零點定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號，即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點函數(shù)值異號，結(jié)論是開區(qū)間存在點使函數(shù)值為0.3、羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);（3）、在區(qū)間端點處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)

3、內(nèi)至少有一點ξ(

4、上連續(xù)，則至少存在一點使得Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立。但是在開區(qū)間上也是滿足的，下面我們來證明下其在開區(qū)間內(nèi)也成立，即定理變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點使得可編輯word,供參考版！證明：設(shè)，因為在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上連續(xù)且在開區(qū)間上可導(dǎo)（導(dǎo)函數(shù)即為）。則對由拉格朗日中值定理有：使得而所以使得。在每次使用積分中值定理的時候，如果想在開區(qū)間內(nèi)使用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內(nèi)成立即可。千萬不可直接運用，因為課本給的定理是閉區(qū)間。定理運用：1、設(shè)在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)函數(shù)，且

5、.證明：(1)使(2)使證明：先看第一小問題：如果用積分中指定理似乎一下子就出來了，但有個問題就是積分中值定理是針對閉區(qū)間的。有的人明知這樣還硬是這樣做，最后只能是0分。具體證明方法在上面已經(jīng)說到，如果要在開區(qū)間內(nèi)用積分中指定理，必須來構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理證明其在開區(qū)間內(nèi)符合。（1）、令則由題意可知內(nèi)可導(dǎo).則對由拉格朗日中值定理有：(2)、對于證明題而言，特別是真題第一問證明出來的結(jié)論，往往在第二問中都會有運用，在做第二問的時候我們不要忘記了第一問證明出來的東西，我們要時刻注意下如何將第一問的東西在第二問中進(jìn)行運用：可編輯word,供參考版！第二問是要證明存在點使

6、得函數(shù)二階倒數(shù)為0，這個很容易想到羅爾定理來證明零點問題，如果有三個函數(shù)值相等，運用兩次羅爾定理那不就解決問題啦，并且第一問證明出來了一個等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么問題就解決了。第一問中已經(jīng)在(0,2)內(nèi)找到一點，那么能否在(2,3)內(nèi)也找一點滿足結(jié)論一的形式呢，有了這樣想法，就得往下尋找了，，看到這個很多人會覺得熟悉的，和介值定理很像，下面就來證明：上連續(xù)，則在上也連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必存在最大值和最小值，分別設(shè)為M,m;則從而，，那么由介值定理就有：則有羅爾定理可知：，Ps：本題記得好像是數(shù)三一道真題，考察的知識點蠻多，涉及到積分中值定理，介

7、值定理，最值定理，羅而定理，思路清楚就會很容易做出來。2、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1.證明:本題第一問較簡單，用零點定理證明即可。（1）、首先構(gòu)造函數(shù)：由零點定理知：可編輯word,供參考版！(2)、初看本問貌似無從下手，但是我們始終要注意，對于真題這么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念}目，他的設(shè)問是一問緊接一問，第一問中的結(jié)論或多或少總會在第二問中起到作用。在想想高數(shù)定理中的就這么些定理，第一問用到的零點定理，從第二問的結(jié)論來看，也更本不涉及什么積分問題，證明此問題也只可能從三大中值定理出發(fā)，具體是哪個定理，得