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1、第五講中值定理的證明技巧一、考試要求1、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。2、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。掌握這四個(gè)定理的簡單應(yīng)用（經(jīng)濟(jì)）。3、了解定積分中值定理。二、內(nèi)容提要1、介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.（2）零點(diǎn)定理設(shè)f(x)在[a、b]連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，則至少存在一點(diǎn),c(a、b)，使得f(c)=02、羅爾定理若函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)（3）則一定存在使得3、拉格朗日中值定
2、理若函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)則一定存在，使得4、柯西中值定理若函數(shù)滿足:（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)（3）則至少有一點(diǎn)使得5、泰勒公式如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)在內(nèi)時(shí),可以表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和，即其中(介于與之間).在需要用到泰勒公式時(shí)，必須要搞清楚三點(diǎn)：1．展開的基點(diǎn)；2．展開的階數(shù)；3．余項(xiàng)的形式．其中余項(xiàng)的形式，一般在求極限時(shí)用的是帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式．而基點(diǎn)和階數(shù)，要根據(jù)具體的問題來確定．6、積分中值定理若f(x)在[a、b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)c∈[a、b]，使得f(x
3、)dx=f(c)(b-a)三、典型題型與例題題型一、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問題（證明存在使或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理f(x)滿足：在[a,b]上連續(xù)；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法2）間接法或輔助函數(shù)法例1、設(shè)在[a,b]上連續(xù)，，證明存在，使得例2、設(shè)在[a,b]上連續(xù)、單調(diào)遞增，且，證明存在使得*例3、設(shè)在[a,b]上連續(xù)且，證明存在使得。.例4、設(shè)在[a,b]上連續(xù)，證明存在使得例5、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(x)<1.證明：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。例6、設(shè)實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式，證明方程，在內(nèi)至少有一實(shí)根。例7、（0234，6分）設(shè)函數(shù)f(
4、x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且g(x)>0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)使得題型二、驗(yàn)證滿足某中值定理例8、驗(yàn)證函數(shù)，在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理，并求滿足定理的題型三、證明存在,使(n=1,2,…)方法：1、用費(fèi)馬定理2、用羅爾定理（或多次用羅爾定理）3、用泰勒公式思路：可考慮函數(shù)例9、設(shè)在[a,b]上可導(dǎo)且，證明至少存在一個(gè)使得例10、設(shè)在[0,3]上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在一個(gè)使得*例11、設(shè)在[0,2]上連續(xù)，在（0，2）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且，證明存在使得題型四、證明存在,使方法：1）用羅爾定理（原函數(shù)法，常微分方程法），2）直接用拉格
5、朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分離）思路：1）換為2）恒等變形，便于積分3）積分或解微分方程4）分離常數(shù)：即為輔助函數(shù)(1)用羅爾定理1)原函數(shù)法:步驟：將x換為x;恒等變形，便于積分；求原函數(shù)，取c=0；移項(xiàng)，得F(x).例12、設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，求證存在使得例13、（0134）設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x,使例14、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)>0,f(a)g(x)在[a,b]上連續(xù)，試證對.*例15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）
6、內(nèi)一階可導(dǎo)，且.試證：使得..2)常微分方程法:適用:步驟：解方程令例16、設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在使得*例17、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1,證明：對任意實(shí)數(shù),使得(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得例19、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得例20、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得例21、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得題型5、含有(或更高階導(dǎo)數(shù))的介值問題方法：1）原函數(shù)法（對仍用微分中值定理:羅爾定理，拉格朗日，柯西中值定理）；2）泰勒公式例
7、22、設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1),試證至少存在一個(gè),使例23、（012，8分）設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1)寫出f(x)的帶拉氏余項(xiàng)的一階麥克勞林公式。(2)證明在上至少存在一個(gè)使得例24、設(shè)f(x)在[－1,1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0,f(1)=1,f￠(0)=0,證明:在(-1,1)內(nèi)存在一點(diǎn)x，使得.例25、（103）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,3]上連續(xù),在開區(qū)間(0,3)內(nèi)二階可導(dǎo),且2f(0)==f(2)+f(3).(I)證明
