參考曲面積分與曲線積分

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1、第十四章曲線積分與曲面積分（高教社劉玉蓮361）§14.1曲線積分一、第一型曲線積分首先討論物質(zhì)曲線的質(zhì)量。如果在xy平面上有一條可求長的曲線C，如圖14.1，已知曲線C上點（x,y）的線密度是(x,y),求曲線C的質(zhì)量。在曲線C上依次任取一組點：A=，，，…，，=B，記為分法T。它們將曲線C分成n個小?。海?，…，，…，.設(shè)第k個小弧的長是，在其上任取一點（，）。在點的線密度（，）近似代替第k個小弧上每一點的線密度。于是，（，）應(yīng)是第k個小弧質(zhì)量的近似值，k=1,2，…，n。它們的和，即應(yīng)是曲線

2、C質(zhì)量的近似值。設(shè)（T）是分法T的n個小弧之長中最大者。（T）越小，越接近于曲線C的質(zhì)量。于是，曲線C的質(zhì)量m應(yīng)該是極限m=.抽取上式的物理意義就得到第一型曲線積分。設(shè)二元函數(shù)（x,y）在xy平面上一條可求長曲線C(A,B)上有定義。用任意分法T，將曲線C依次分成n個小弧：，，…，，其中=A，=B。設(shè)它們的弧長分別是，，，…，。在小弧上任取一點（，），k=1，2，…，n，取該點的函數(shù)值(，)與作乘積，然后作和=,(1)稱為二元函數(shù)(x.y)在曲線C（A，B）的積分和。令（T）=max{，，…，}

3、。定義設(shè)二元函數(shù)（x,y）在可求長曲線C（A，B）有定義。若當(dāng)（T）→0時，二元函數(shù)（x,y）在曲線C（A，B）的積分和（1）存在極限I，即==I，則稱I是函數(shù)（x,y）在曲線C的第一型曲線積分，記為I=，其中ds是弧長微元。不難看到，在xy平面上一條物質(zhì)曲線C（A，B），若其上每一點（x，y）的線密度是（x，y），則物質(zhì)曲線C的質(zhì)量m是第一型曲線積分，即m==.根據(jù)第一型曲線積分定義，不難證明，第一型曲線積分有下述性質(zhì)（僅列舉其中四個性質(zhì)）：1．=，即第一型曲線積分與曲線C的方向（由A到B或由

4、B到A）無關(guān)。事實上，在積分和（1）中小弧之長與曲線C的方向無關(guān)。2．=.3．k，其中k是常數(shù).4．=+.定理1若曲線C（A，B）：x=，y=，,是光滑的，即，在[，]連續(xù)，且不同時為零，函數(shù)（x,y）在C連續(xù)，則函數(shù)（x,y）在C（A，B）存在第一型曲線積分，且=.（2）證明給區(qū)間[，]任意分法T，分點依次是.第k個小區(qū)間[]對應(yīng)曲線C上第k個小弧，設(shè)其長是.由§8.5弧長公式與定積分中值定理，有=dt=，其中=，.在[]上任取一點,在曲線C上對應(yīng)點是P（）.作和==.（3）注意上面等式中與都

5、屬于[]，但是不一定相等。為此將它改寫為=+，（4）其中=-.(4)式第一個和數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[，]的積分和。因此，有=.下面證明.事實上，已知函數(shù)在閉區(qū)間[，]連續(xù)，從而它在[，]有界；函數(shù)在閉區(qū)間[，]連續(xù)，從而一致連續(xù)。即,有

6、

7、.又，，），有

8、-

9、.于是，當(dāng)時，有

10、

11、.

12、-

13、

14、

15、=,即.當(dāng)時，有.當(dāng)時，（4）式存在極限，即函數(shù)（x,y）在曲線C上存在第一型曲線積分，即=.（2）式將第一型曲線積分化成了定積分，它就是計算第一型曲線積分的公式。特別地，曲線C（A，B）是由方程y=y(x)給

16、出，且（x）在[a，b]連續(xù)時，（2）式是=.（5）例1計算，其中C：x=acost，y=bsint，.解，t.dt.由公式（2），有I=dt=dt.設(shè)，或，有例2計算，其中C是圓周，.解如圖14.2..：，：.，.由公式（5），有設(shè)三維歐式空間有一條可求長的曲線C（A，B）。函數(shù)在曲線C有定義?？煞抡掌矫妫ǘS空間）第一型曲線積分定義給函數(shù)在空間曲線C上的第一型曲線積分（6）的定義，其中ds是空間曲線C的弧長微分。若三維歐式空間中光滑曲線C的參數(shù)方程，則三維歐式空間中第一型曲線積分（6）可化成

17、定積分，有公式，（7）其中是空間曲線C的弧長微分，即.例3計算，其中C是圓柱螺旋線：，，，.解，，...二、第二型曲線積分首先討論力場作功問題。我們知道，若質(zhì)點在常力F（大小與方向都不變）的作用下沿直線運動，位移是（有向線段），則常力F所作的功W是F與的內(nèi)積，即，其中是F與之間的夾角。設(shè)有一質(zhì)點在平面力場的作用下，沿光滑的有向曲線C由點A運動到點B，如圖14.3，求力場F所作的功。有任意分法T，將曲線C分成n個有向的小弧：，，…，，其中，.設(shè)的坐標(biāo)是（）。將第k個有向小弧的弦記為，則弦在x軸與y

18、軸上的投影分別是與，即.在第k個小弧上任取一點.在點的（力）向量是.以點的向量近視代替第k個小弧上每一點的向量。于是，內(nèi)積應(yīng)是質(zhì)點在力場F的作用下，沿第k個小弧由點運動到點所作功的近似值。它們的和應(yīng)是質(zhì)點在力場F的作用下，沿曲線C由點A到點B所作功W的近似值。當(dāng)越小，近似程度越好。于是，當(dāng)時，有.由內(nèi)積公式，有，即.（8）抽出（8）式的物理意義就得到第二型曲線積分。設(shè)平面上有光滑有向曲線C（A，B），二元函數(shù)在曲線C上有定義。用任意分法T，將曲線C依次分成n個有向小?。?，其中，.設(shè)第k個小弧的弦