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《多剛體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、計(jì)算多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)(Simplified)ComputationalKinematicsandDynamicsofMulti-bodySystems（forengineer@sohu.comforengineer@126.com）1旋轉(zhuǎn)變換圖1旋轉(zhuǎn)變換如圖1所示，設(shè)有矢量P，它在坐標(biāo)系O0x0y0z0下的表達(dá)式為P=xi+yj+zk(1)000000它在坐標(biāo)系O1x1y1z1下的表達(dá)式為P=xi+yj+zk(2)111111因此有xi+yj+zk=xi+yj+zk(3)000000111111(3)式兩邊點(diǎn)乘i，得0x=xi?i+yj?i+zk?i(4
2、)0110110110同理，可得j=xi?j+yj?j+zk?j(5)0110110110z=xi?k+yj?k+zk?k(6)0110110110設(shè)有矩陣?i1?i0j1?i0k1?i0??r11r12r13?1????R=i?jj?jk?j=rrr(7)0?101010??212223??i?kj?kk?k??rrr??101010??313233?該矩陣稱為方向余弦陣。T假設(shè)P在坐標(biāo)系O0x0y0z0和O1x1y1z1的坐標(biāo)值分別為P=[]xyz、0000[]TP=xyz，則有：11111P=RP(8)001i用R表示i系向j系轉(zhuǎn)換的方向余弦陣，則有：j
3、2123123n12nR=RR，R=RRR，?，R=RR???R(9)0010012001n?12歐拉角坐標(biāo)和卡爾丹角坐標(biāo)（1）歐拉角坐標(biāo)bbbb可以將剛體的姿態(tài)分解為依次繞連體基e的基矢量ee和e轉(zhuǎn)過有限323角度?、θ和φ來實(shí)現(xiàn)，這三個角坐標(biāo)稱為歐拉角坐標(biāo)，并分別稱為進(jìn)動角、章動角和自轉(zhuǎn)角。圖2歐拉角剛體的姿態(tài)可以看成是?、θ和φ三次旋轉(zhuǎn)的疊加，每次旋轉(zhuǎn)的方向余弦矩陣分別為：，，(10)最終的方向余弦矩陣是這三次方向余弦矩陣的乘積(11)（2）卡爾丹角坐標(biāo)bbbb將剛體的姿態(tài)分解為依次繞連體基e的基矢量ee和e轉(zhuǎn)過有限角度123α、β和γ來實(shí)現(xiàn)，這三個角坐
4、標(biāo)稱為卡爾丹角坐標(biāo)。圖3卡爾丹角剛體的姿態(tài)可以看成是α、β和γ三次旋轉(zhuǎn)的疊加，每次旋轉(zhuǎn)的方向余弦矩陣分別為：，，(12)最終的方向余弦矩陣是這三次方向余弦矩陣的乘積：(13)3齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)是用n+1維坐標(biāo)來描述n維空間中的位置。引入齊次坐標(biāo)，不僅對坐標(biāo)變換的數(shù)學(xué)表達(dá)帶來方便，而且也具有坐標(biāo)值縮放的實(shí)際意義。T三維空間任一點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系Oxyz下的坐標(biāo)為(x，y，z)，對應(yīng)的齊次坐T標(biāo)為(x,x,x,x)，且：1234x=xxy=xxz=xx(14)142434稱x4為比例坐標(biāo)，且不等于零的實(shí)數(shù)。應(yīng)該注意的是，一個點(diǎn)的直角坐標(biāo)是單值的，對應(yīng)的齊次坐標(biāo)是多值
5、的，即TT(x,x,x,x)和(kx,kx,kx,kx)，k是非零實(shí)數(shù)，都表征同一點(diǎn)。若兩點(diǎn)的齊12341234TT次坐標(biāo)為(x,x,x,x)，(x,x,x,x)，這兩個齊次坐標(biāo)相等的條件是：12345678xx=xx,xx=xx,xx=xx(15)145824683478TTOxyz直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為[000a]，a為非零實(shí)數(shù)。齊次坐標(biāo)[1000]、TT[01000]和[0010]分別表示了x、y和z軸的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。當(dāng)齊次坐標(biāo)中最后一個元素趨近于0時，表示了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，它擴(kuò)大了描述空間，當(dāng)這個元素取1時，表示了物理空間的一個點(diǎn)，通常取它為1。4平移齊次變
6、換圖4平移齊次變換當(dāng)兩坐標(biāo)系只有平動沒有轉(zhuǎn)動時，設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)系O0x0y0z0下的坐標(biāo)為[x0y0TTz0],在O1x1y1z1下的坐標(biāo)為[x1y1z1]，坐標(biāo)系O1x1y1z1的原點(diǎn)O1在O0x0y0z0下T的坐標(biāo)為[abc]。則有下列關(guān)系：?x0??x1+a?????yy+b?0?=?1?(16)?z??z+c?01?????1??1?把式(12)寫成矩陣的形式：?x0??x1??100a??x1?????????yy010by?0?=T?1?=???1?(17)?z??z??001c??z?011?????????1??1??0001??1??100a?
7、??010b其中T為平移變換矩陣，=??T為OT，[abc1]1x1y1z1的原點(diǎn)O1在?001c????0001?TO0x0y0z0下的齊次坐標(biāo)。若求[x1y1z1]，則：?x1??x0?????yy?1?=T?1?0?(18)?z??z?10?????1??1?5旋轉(zhuǎn)齊次變換圖5旋轉(zhuǎn)齊次變換當(dāng)兩坐標(biāo)系只有轉(zhuǎn)動沒有平動時，已知P點(diǎn)在坐標(biāo)系O1x1y1z1下的齊次坐標(biāo)T為[x1y1z11]，坐標(biāo)系O1x1y1z1相對于坐標(biāo)系O0x0y0z0旋轉(zhuǎn)一定角度后，求P在O1x1y1z1下的坐標(biāo)。這是旋轉(zhuǎn)齊次變換問題。將式(8)寫成齊次坐標(biāo)的形式：?x0??0??x1?
8、?x1??y??1??y??y??0?
