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1、多體系統(tǒng)動力學(xué)下冊Ｒ．Ｌ．休斯敦 劉又午 著天津大學(xué)出版社140目錄140第六章慣量概念6.1前言為了導(dǎo)出慣性力表達(dá)式，必先具備有關(guān)物體慣性特性的知識。當(dāng)質(zhì)點在慣性參考系（或牛頓參考系）中加速時間時，其上作用的外力與加速度成正比。如圖6.1，R為慣性參考系，P為質(zhì)點，F(xiàn)為作用與質(zhì)點的力，則P中的加速度RaP與F的關(guān)系可表示為F=mRaR（6.1.1）根據(jù)經(jīng)典理論，質(zhì)點的質(zhì)量只決定于其物理特性，而與其加速度無關(guān)。如視物體為質(zhì)點的集合，則其質(zhì)量（或慣量）特性即可由質(zhì)點推出。本章將復(fù)習(xí)和給定用于多體系統(tǒng)分析的有關(guān)物體的慣量特性。6.2一次矩為描述物體的慣量特性，一次
2、矩和二次矩是兩個有用的矢量。質(zhì)點的一次矩定義如下：見圖6.2.1，令P為質(zhì)點，m為其質(zhì)量，p為給定P對參考點O的位置矢量。則P對O的一次矩LP/O為LP/O=mp(6.2.1)一次矩的大小與質(zhì)點的質(zhì)量及其至參考點O的距離成正比。140其次，考察如圖6.2.2所示N個質(zhì)點Pi（i=1,…,N）組成的質(zhì)點系S。S對參考點O的一次矩可定義為各質(zhì)點對O點一次矩之和。即（6.2.2）式中mi為S中任意質(zhì)點Pi的質(zhì)量。6.3質(zhì)心質(zhì)點系S的質(zhì)心定義為質(zhì)系S對其一次矩為零的那個參考點G。即如G為S的質(zhì)心，則LS/G=0(6.3.1)見圖6.3.1，令S為質(zhì)點系，O為任意參考系
3、，G為質(zhì)心；pG為G對O的位置矢量，ri為Pi對G的位置矢量，則有pi=PG+ri(6.3.2)而由式（6.3.1），如G為S的質(zhì)心，則（6.3.3）式（6.3.2）代入（6.3.3）可有（6.3.4）因pG不含下標(biāo)i，與和式無關(guān)，故可提至和式之外，如最后的等式。和式140即是S的總質(zhì)量。故由式（6.3.4）可得（6.3.5）式中M為S的總質(zhì)量。因剛體可視為一個質(zhì)點系，故可用式（6.3.5）求得剛體的質(zhì)心。而作為連續(xù)體，組成剛體的質(zhì)點數(shù)目應(yīng)該很大。故應(yīng)令式（6.3.5）中N無限的增大，最終可以物體占有區(qū)域的體積分取代其中和式。如B為剛體，其質(zhì)心為G，則G對任意
4、參考點O的位置矢量可表示為（6.3.6）如V內(nèi)質(zhì)量均勻分布（即ρ為常數(shù)），則式（6.3.6）簡化為（6.3.7）式中V為B占有空間的體積。故對勻質(zhì)物體，質(zhì)心位置僅決定于物體形狀。對常見物體（或圖形），pG已由式（6.3.7）確定。有關(guān)結(jié)果在很多力學(xué)教科書和手冊中皆可查到（參見[6.1-6.6]）。本章末附錄中列出了常見形狀物體的質(zhì)心位置。6.4在多體系統(tǒng)中的應(yīng)用再考察式（6.3.5）（6.4.1）式中S為n個質(zhì)點組成的任意系統(tǒng)。可由此式導(dǎo)出確定多體系統(tǒng)質(zhì)心的算法。設(shè)多體系統(tǒng)S包含N個物體Bk(k=1,…,N),如圖6.4.1。對任意典型物體Bk，它的質(zhì)心至參考
5、點O的相對位置可用式（6.4.1）確定。140即（6.4.2）式中為Bk質(zhì)量。此式可改寫為（6.4.3）式中為組成的質(zhì)點數(shù)，上面最后一個等式系由式（6.2.2）和一次矩定義得來。注意到式（6.4.1）中的和式由有限項組成，故可根據(jù)各獨立物體，將它分為若干和式。即可將和表示為（6.4.4）和（6.4.5）比較式（6.4.3）（6.4.4）?？梢耘卸ㄊ剑?.4.4）中各獨立和式即是各獨立物體的一次矩。即整個系統(tǒng)的一次矩可表示為（6.4.6）同理，由式（6.4.5）。S的總質(zhì)量M可表示為各獨立物體質(zhì)量之和，即140（6.4.7）再比較式（6.4.3）（6.4.4）可
6、知（6.4.8）解pG可得（6.4.9）式（6.4.9）給出確定多體系統(tǒng)質(zhì)心所需的算式?？疾靾D6.4.2所示系統(tǒng)，說明其具體應(yīng)用。此系統(tǒng)由一個立方體、一個圓柱體、四個桿和一個球，共七個物體組成。令立方體每邊長1m。令各桿尺寸相同，皆為直徑4cm，長1m。令圓柱體直徑為1/3m，長1m。令球的直徑為1/3m。令B6與球面相連，且軸線通過球心。除B1有圓柱形空腔外，各物體都是勻質(zhì)的。空腔貫穿立方體，其直徑為1/3m。令立方體、圓柱和球的密度為7.8×103kg/m3（鋼），桿的密度為9.8kg/m。令B3和B6與X軸平行，B4和B5與Y-Z平面平行。只需計算式（6
7、.4.9）中的和式，即可確定此系統(tǒng)相對于直角坐標(biāo)系XYZ原點O的質(zhì)心位置。為計算和式最好用圖6.4.2的單位矢量N1、N2和N3表示各矢量。實際上計算過程不過是簡單的乘法和表中各列相加。各體的體積、質(zhì)量和質(zhì)心位置列如表6.4.1。第3列相加為總質(zhì)量。乘積見第7、8和9列。稱空腔為B0140；其質(zhì)量應(yīng)冠以負(fù)號。參見本章末附表，可得第4、5和6列各值。由表6.4.1可知系統(tǒng)總質(zhì)量為7990.32kg。且和式可寫為kgm（6.4.10）為140（6.4.11）表6.4.1及各和式易于表達(dá)為計算機(jī)算法。首先輸入第1、2和3列數(shù)據(jù)。其次，引用較低序體連接陣列（見4.2節(jié)
8、）。本例無分支，陣列很簡單L0(K)=
