剛體動(dòng)力學(xué)（rigidbodydynamics）

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1、剛體動(dòng)力學(xué)（RigidBodyDynamics）任程本文的內(nèi)容由作者翻譯整理了BrianVincentMirtich博士畢業(yè)論文“Impulse-baseddynamicsimulationofrigidbodysystems,1996”的附錄而來。本文并不系統(tǒng)講解剛體動(dòng)力學(xué)，卻旨在提綱挈領(lǐng)的講解在學(xué)習(xí)剛體動(dòng)力學(xué)（RigidBodyDynamics）的過程中的幾個(gè)十分關(guān)鍵的問題。其中第1節(jié)介紹向量、矩陣在不同坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換及其作用，第2節(jié)介紹用矩陣表示的向量叉積并利用其表述矩陣的求導(dǎo)運(yùn)算，第3節(jié)利用1、2節(jié)的內(nèi)容進(jìn)一

2、步導(dǎo)出實(shí)用的動(dòng)力學(xué)公式，說明了為何物理書中的剛體動(dòng)力學(xué)公式形式有τ()tt?I??()和τ()tttt???Iα()?()I?()兩種情形，而在實(shí)際情況（如機(jī)器人領(lǐng)域、計(jì)算機(jī)圖形與動(dòng)畫領(lǐng)域）中使用的經(jīng)常為τ()tttt?Iα()???()I?()。閱讀本文前您需要已經(jīng)具備最基本的向量、矩陣的知識(shí)，并已經(jīng)知道基本的牛頓力學(xué)定律Fa?m。1.向量、矩陣、坐標(biāo)系本文中，一個(gè)坐標(biāo)系指右手方向的三維坐標(biāo)系，其三個(gè)基準(zhǔn)軸向量i,,jk相互正交，滿足i??jk。我們經(jīng)常要將某向量在一個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系下。例如對于一

3、個(gè)向量v，設(shè)31?列向量v表示其在坐標(biāo)系F（坐標(biāo)系常以大寫斜體字母表f示）下的坐標(biāo)，31?列向量v表示其在坐標(biāo)系G下的坐標(biāo)。如果我們以三個(gè)31?g列向量rrr,,分別表示坐標(biāo)系F的基準(zhǔn)軸ijk,,在坐標(biāo)系G下的坐標(biāo)。則有坐標(biāo)轉(zhuǎn)xyz換公式：vrrr????vRvg??xyzff其中33?的矩陣R為一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，它將向量v在坐標(biāo)系F下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為其在坐標(biāo)系G下的坐標(biāo)，此后本文中將稱R為“由坐標(biāo)系F到坐標(biāo)系G的旋轉(zhuǎn)矩陣”。一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣的各個(gè)列向量為單位向量（即長度為1），且相互正交。此矩陣的各個(gè)行向量同樣亦是如此。矩陣R

4、的行列式（determinant）為1，且R的一個(gè)重要且十分常用的特征為?1TRR?(1.1)?1式(1.1)在被廣泛應(yīng)用于快速計(jì)算R。除向量外，矩陣也經(jīng)常要被變換到不同坐標(biāo)系中以能夠作用于不同坐標(biāo)系下的向量坐標(biāo)。例如，設(shè)向量?和向量L分別表示一個(gè)剛體“在相對于附著在其自身的局部坐標(biāo)系下”的角速度（angularvelocity）和角動(dòng)量（angularmomentum），則?和L的關(guān)系為LI??其中I為一個(gè)33?的質(zhì)量矩陣（massmatrix）。對于如何得到公式LI??，及慣量I的表示請參看相關(guān)力學(xué)書籍，或者參看

5、OnlineSiggraph2001CourseNotes:“Physicallybasedmodeling”中RigidBodyDynamics一節(jié)：http://www.pixar.com/companyinfo/research/pbm2001/現(xiàn)假設(shè)角速度和角動(dòng)量被表示在另一個(gè)坐標(biāo)系下，例如表示在空間中始終固定的全局坐標(biāo)系下。設(shè)?和L分別為角速度和角動(dòng)量在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，則此oo時(shí)這兩個(gè)向量通過一個(gè)矩陣I相聯(lián)系，即LI??oooo則一個(gè)重要的關(guān)系式為：TIR?IR(1.2)o其中R是由剛體局部坐標(biāo)系到全局

6、坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。I如同I一樣代表著相同的映射關(guān)系，由I和?得到的角動(dòng)量L與由I和?得oooo到的角動(dòng)量L相似，只是表示在不同的坐標(biāo)系下：LI??oooT?()RIR()R??RI??RL2.用矩陣表示向量叉積（crossproducts）3在一個(gè)向量空間?，兩個(gè)向量進(jìn)行叉積()?可以得到另外一個(gè)向量：?abab??yzzy??ab??ab?ab(2.1)?zxxz??ab?ab??xyyx?式(2.1)可以用另一種方式表示：abab???其中a?是一個(gè)33?的斜對稱矩陣：??0?aazy??a???aa0??zx?

7、??aa0??yx斜對稱矩陣指矩陣具有性質(zhì)：Taa????在動(dòng)力學(xué)的公式表述中以矩陣的方式來表示向量叉積經(jīng)常很有用。設(shè)a?表示在坐標(biāo)系F下“被向量a施加叉積”的運(yùn)算，a?表示在坐標(biāo)系G下FG“被向量a施加叉積”的運(yùn)算。如果R是由坐標(biāo)系F到坐標(biāo)系G旋轉(zhuǎn)矩陣，則運(yùn)算a?與a?的關(guān)系為：FGTaR???aR(2.2)GFa?與a?的不同僅在于它們作用于不同坐標(biāo)系下。GF矩陣求導(dǎo)：叉積矩陣提供了一個(gè)很方便的渠道來表述一個(gè)矩陣的導(dǎo)數(shù)。設(shè)坐標(biāo)系B相對于一個(gè)慣性坐標(biāo)系O進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，角速度為?()t，旋轉(zhuǎn)矩陣R()t為由坐標(biāo)系B到坐標(biāo)

8、系O的旋轉(zhuǎn)矩陣。如果?()t是角速度?()t在坐標(biāo)系O下的坐o標(biāo)，?()t是角速度?()t在坐標(biāo)系B下的坐標(biāo)，則有矩陣的導(dǎo)數(shù)：bRR????o(2.3)RR????b證明：設(shè)r為固定在坐標(biāo)系B中的一個(gè)向量，它隨坐標(biāo)系B一起在全局坐標(biāo)框架O下旋轉(zhuǎn)。以r和r分別表示r在坐標(biāo)系O和坐標(biāo)系B下的坐標(biāo)。則計(jì)算導(dǎo)數(shù)r?obo有幾種方式：rR????d()r