2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

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1、2.2.2　橢圓的簡單幾何性質(zhì)課時目標(biāo)　1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì).2.明確標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b以及c，e的幾何意義，a、b、c、e之間的相互關(guān)系.3.能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡單問題．1．橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點軸長短軸長＝____，長軸長＝____焦點焦距對稱性對稱軸是______，對稱中心是______離心率2.直線與橢圓直線y＝kx＋b與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：直線與橢圓相切?有______組實數(shù)解，即Δ

2、______0.直線與橢圓相交?有______組實數(shù)解，即Δ______0，直線與橢圓相離?________實數(shù)解，即Δ______0.一、選擇題1．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是(　　)A．5,3，B．10,6，C．5,3，D．10,6，2．焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝13．若焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m等于(　　)A.B.C.D.4．如圖所示，A、B、C分別為橢圓＋＝1(a>

3、b>0)的頂點與焦點，若∠ABC＝90°，則該橢圓的離心率為(　　)A.B．1－C.－1D.5．若直線mx＋ny＝4與圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數(shù)為(　　)A．至多一個B．2C．1D．0A．(0,1)B.C.D.題　號123456答　案二、填空題7．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點P(－5,4)，則橢圓的方程為______________．8．直線x＋2y－2＝0經(jīng)過橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率等

4、于______．9．橢圓E：＋＝1內(nèi)有一點P(2,1)，則經(jīng)過P并且以P為中點的弦所在直線方程為____________．三、解答題10.如圖，已知P是橢圓＋＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，O是橢圓中心，B是橢圓的上頂點，H是直線x＝－(c是橢圓的半焦距)與x軸的交點，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率e.11．已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程．能力提升12．若一

5、個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是(　　)A.B.C.D.13．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F1(－，0)，且右頂點為D(2,0)．設(shè)點A的坐標(biāo)是.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．1．橢圓的范圍實質(zhì)就是橢圓上點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問題中有著重要的應(yīng)用．2．橢圓既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形．橢圓的對稱性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面

6、積的計算問題時，往往能起到化繁為簡的作用．3．橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個量，通過解方程或不等式可以求得離心率的值或范圍．4．在與橢圓有關(guān)的求軌跡方程的問題中要注意挖掘幾何中的等量關(guān)系．2.2.2　橢圓的簡單幾何性質(zhì)知識梳理1.焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1＋＝1范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(±c,0)(0，±c)焦距2c＝2對稱性對稱軸是坐標(biāo)軸，對

7、稱中心是原點離心率e＝，0　沒有　<作業(yè)設(shè)計1．B　[先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：＋＝1，其中b＝3，a＝5，c＝4.]2．A　3.B4．A　[由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.]5．B　[∵>2，∴<4.∴點P(m，n)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，∴過點P(m，n)的直線與橢圓＋＝1有兩個交點．]∴M點軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點在圓x2＋y2＝c2外部，設(shè)點P

8、為橢圓上任意一點，則

9、OP

10、>c恒成立，由橢圓性質(zhì)知

11、OP

12、≥b，其中b為橢圓短半軸長，∴b>c，∴c22c2，∴2<，∴e＝<.又∵0b>0)，將點(－5,4)代入得＋＝1，又離心率e＝＝，即e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為＋＝1.8.解析　由題意知橢圓的焦點在x軸上，又直線x＋2y－2＝0與x軸、y軸的交點分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點與頂點