平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用

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1、2011—2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)文科一輪復(fù)習(xí)向量導(dǎo)學(xué)案班級(jí)：姓名：教師評(píng)價(jià)：編寫(xiě)：劉海國(guó)校審：第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用復(fù)習(xí)目標(biāo)：1．理解向量數(shù)量積的概念及幾何意義;2．掌握數(shù)量積的運(yùn)算式及其變式與運(yùn)算律.3.能通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何問(wèn)題中的點(diǎn)、線段、夾角等關(guān)系;4.會(huì)用向量知識(shí)解決幾何、物理問(wèn)題知識(shí)梳理：１.向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則把數(shù)量叫做的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即　　?。健　　　∫?guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為格；注意公式的變形＝．２.向量的數(shù)量積的幾何意義10.投影的概念:設(shè)，過(guò)Ｂ作垂直于直線ＯＡ,垂足為,則＝　　叫在方向上的投影．20.

2、向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于　　與在方向上的投影　　　的乘積３.向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)都是非零向量，為的夾角．①特殊情況:　　　　．＝　　　　或②當(dāng)同向時(shí)，＝　　　　??；當(dāng)反向時(shí)，＝　　　　?。邸　、苓\(yùn)算律:;;;注意:.4.向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè),則10.=;20.　　　?。?0.=;40.5.向量在幾何中的應(yīng)用：設(shè),,.10.平行,垂直;20.夾角30.距離或;.6.向量在幾何中的應(yīng)用：10.向量的加法與減法在力的分解及合成中的應(yīng)用;20.向量在速度的分解及合成中的應(yīng)用;30.向量的數(shù)量積在力所做的功中的應(yīng)用;課堂典例講練題型一：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例一：(1)若a＝

3、(3，－4)，b＝(2,1)，則(a－2b)·(2a＋3b)＝________.(2)如圖4－3－1所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

4、

5、＝1，則·＝A．2　　　B.　　　C.　　　D.變式訓(xùn)練：若將本例第(2)題的條件改為“在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是邊BC上一點(diǎn)，DC＝2BD.”如圖4－3－2所示，試求·.【解】　∵DC＝2BD，即＝，∴＝＋＝＋.又＝－，2011—2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)文科一輪復(fù)習(xí)向量導(dǎo)學(xué)案班級(jí)：姓名：教師評(píng)價(jià)：編寫(xiě)：劉海國(guó)校審：因此＝＋(－)＝＋.∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，∴·＝2＋·＝×12＋×2×1·cos1

6、20°＝－.題型二：向量的夾角與模例二：已知

7、a

8、＝4，

9、b

10、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a與b的夾角θ；(2)求

11、a＋b

12、；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面積．【嘗試解答】　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

13、a

14、2－4a·b－3

15、b

16、2＝61.又

17、a

18、＝4，

19、b

20、＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．

21、a＋b

22、2＝(a＋b)2＝

23、a

24、2＋2a·b＋

25、b

26、2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴

27、a＋b

28、＝.(3)由(1)知與的夾角θ＝，∴∠ABC＝π－＝

29、.又

30、

31、＝

32、a

33、＝4，

34、

35、＝

36、b

37、＝3，∴S△ABC＝

38、

39、

40、

41、sin∠ABC＝×4×3×＝3.變式訓(xùn)練：已知

42、a

43、＝1，

44、b

45、＝6，且a·(b－a)＝2，求：(1)a與b的夾角；(2)

46、2a－b

47、的模．【解】　(1)∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2.又

48、a

49、＝1，∴a·b＝3.則

50、a

51、·

52、b

53、cos〈a，b〉＝3＝1×6cos〈a，b〉，得cos〈a，b〉＝，∵0≤〈a，b〉≤π，∴a與b的夾角為.(2)

54、2a－b

55、2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4×12－4×3＋62＝28.∴

56、2a－b

57、＝＝2.,題型三：平面向量的垂直問(wèn)題例3：已知平面向量a＝(，－1)，b＝(，

58、)．(1)證明：a⊥b；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)．2011—2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)文科一輪復(fù)習(xí)向量導(dǎo)學(xué)案班級(jí)：姓名：教師評(píng)價(jià)：編寫(xiě)：劉海國(guó)校審：變式訓(xùn)練：設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b.若

59、a

60、＝1，求

61、a

62、2＋

63、b

64、2＋

65、c

66、2的值．【解】　∵a⊥b，b＝－a－c，∴a·b＝a·(－a－c)＝－

67、a

68、2－a·c＝0，∴a·c＝－

69、a

70、2＝－1.又∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝0，∴a·c＝b·c＝－1.∵a＝－b－c，∴

71、a

72、2＝

73、b

74、2＋

75、c

76、2＋2b·c

77、，∴

78、b

79、2＋

80、c

81、2＝

82、a

83、2－2b·c＝3，∴

84、a

85、2＋

86、b

87、2＋

88、c

89、2＝4.題型四：數(shù)量積的綜合應(yīng)用例四：已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cos，－sin)，且x∈[－，]．(1)求a·b及

90、a＋b

91、；(2)若f(x)＝a·b－

92、a＋b

93、，求f(x)的最大值和最小值．【規(guī)范解答】　(1)a·b＝cosxcos－sinxsin＝cos2x；··························2分

94、a＋b

95、＝＝＝2

96、cosx

97、，·············