數(shù)列極限的概念(經(jīng)典

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1、第二章　數(shù)列極限u引言:在第一章中我們已經(jīng)指出，數(shù)學(xué)分析課程研究的對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，那么數(shù)學(xué)分析用什么方法研究實(shí)數(shù)集上的函數(shù)呢？從本質(zhì)上來說，這個(gè)方法就是極限。極限思想和方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，幾乎所有的概念都離不開極限，是我們數(shù)學(xué)分析課程的基礎(chǔ)?！欤睌?shù)列極限的概念教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列極限的概念，應(yīng)用定義證明簡(jiǎn)單數(shù)列的極限，無窮小數(shù)列。教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的定義的清晰概念。深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念。會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列的有關(guān)命題，并能運(yùn)用語言正確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

2、教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用。教學(xué)方法：講授為主。教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)。一、數(shù)列概念：１．?dāng)?shù)列的定義：簡(jiǎn)單的說，數(shù)列就是“一列數(shù)”，是有一定的規(guī)律，有一定次序性的“一列數(shù)”。若函數(shù)的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合，則稱或?yàn)閿?shù)列。若記，則數(shù)列就可寫作為：，簡(jiǎn)記為，其中稱為該數(shù)列的通項(xiàng)。２．?dāng)?shù)列的例子：（1）；（2）（3）；（4）二、數(shù)列極限的概念：１．引言：對(duì)于這個(gè)問題，先看一個(gè)例子：古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子.天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。把每天截下的部分的長(zhǎng)度列出如下（單位為尺）：第１天截下，

3、第２天截下，第３天截下，…，第天截下，…得到一個(gè)數(shù)列：：不難看出，數(shù)列的通項(xiàng)隨著n的無限增大而無限地接近于零。一般地說，對(duì)于數(shù)列，若當(dāng)n無限增大時(shí)，能無限地接近某一個(gè)常數(shù)，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)稱為它的極限。不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列。據(jù)此可以說，數(shù)列是收斂數(shù)列，０是它的極限。數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列。需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列”的說法，并不是嚴(yán)格的定義，而僅是一種“描述性”的說法，如何用數(shù)學(xué)語言把它精確地定義下來。還有待進(jìn)一步分析。以為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：隨著n的無限增大，無限地接近于1隨著n的無

4、限增大，與１的距離無限減少隨著n的無限增大，無限減少會(huì)任意小，只要n充分大。如：要使，只要即可；　　要使，只要即可；任給無論多么小的正數(shù)，都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)，從該項(xiàng)之后，。即，當(dāng)時(shí)，。如何找Ｎ？（或Ｎ存在嗎？）解上面的數(shù)學(xué)式子即得：，取即可。這樣當(dāng)時(shí)，。綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)隨n的無限增大，無限接近于１，即是對(duì)任意給定正數(shù)，總存在正整數(shù)Ｎ，當(dāng)時(shí)，有。此即以１為極限的精確定義。2．?dāng)?shù)列極限的定義：定義1設(shè)為數(shù)列,a為實(shí)數(shù),若對(duì)任給的正數(shù),總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)時(shí)有,則稱數(shù)列收斂于a,實(shí)數(shù)a稱為數(shù)列的極限,并記作或.讀作：當(dāng)n趨于無窮大時(shí),的極

5、限等于a或趨于a。由于n限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把寫成,即或.若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列。３．舉例說明如何用定義來驗(yàn)證數(shù)列極限：　　例１．證明證明：，，則當(dāng)時(shí)，便有，所以（注：這里取整保證為非負(fù)整數(shù)；保證為正整數(shù)。）例２．證明.證明：（不妨設(shè)），，則當(dāng)時(shí)，便有，所以.(注：這里限制保證為正數(shù)，但這并不影響證明過程；并不一定是整數(shù)。)例３．證明　.證明：，，則當(dāng)時(shí)，便有，所以.例４．證明　.證明:由于，因此，，，則當(dāng)時(shí)，便有，所以.例５．證明　，其中.證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.現(xiàn)設(shè)，記，則.由得于是，，，則當(dāng)時(shí)，

6、便有，所以.對(duì)于的情形，留作練習(xí)。４．關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點(diǎn)說明：（１）關(guān)于：①的任意性。定義１中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng)與常數(shù)a的接近程度，越小，表示接近得越好；而正數(shù)可以任意小，說明與常數(shù)a可以接近到任何程度；②的暫時(shí)固定性。盡管有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確定下來，以便依靠它來求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正數(shù)，那么等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義１中的不等式中的可用等來代替。從而“”可用“”代替；④正由于是任意小正數(shù)，我們可以限定小于一個(gè)確定的正數(shù)。（１）關(guān)于Ｎ：①相應(yīng)性，一般地，Ｎ隨的變小而變大，因此常把Ｎ定

7、作，來強(qiáng)調(diào)Ｎ是依賴于的；一經(jīng)給定，就可以找到一個(gè)Ｎ；②Ｎ多值性。Ｎ的相應(yīng)性并不意味著Ｎ是由唯一確定的，因?yàn)閷?duì)給定的，若時(shí)能使得當(dāng)時(shí),有,則或更大的數(shù)時(shí)此不等式自然成立。所以Ｎ不是唯一的。事實(shí)上，在許多場(chǎng)合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大?；诖耍趯?shí)際使用中的Ｎ也不必限于自然數(shù)，只要Ｎ是正數(shù)即可；而且把“”改為“”也無妨。③的取值也不一定必須是正整數(shù)，可以為為正數(shù)，因?yàn)闈M足條件的正數(shù)如果存在，比大的任何正整數(shù)必能使條件成立。（３）數(shù)列極限的幾何理解：在定義１中，“當(dāng)時(shí)有”“當(dāng)時(shí)有”“當(dāng)時(shí)有”所有下標(biāo)大于Ｎ的項(xiàng)都落在鄰域內(nèi)；而在

8、之外，數(shù)列中的項(xiàng)至多只有Ｎ個(gè)（有限個(gè)）。反之，任給，若在之外數(shù)列中的項(xiàng)只有有限個(gè)，設(shè)這有限個(gè)項(xiàng)的最大下標(biāo)為Ｎ，則當(dāng)時(shí)有，即當(dāng)時(shí)有，由此寫出數(shù)列極限的一種等價(jià)定義（鄰域定義）：　　定義任給，若在