極限概念與數列的極限

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1、極限概念與數列的極限極限概念與數列的極限劉海濱極限概念與數列的極限三國時的劉徽提出的的方法。他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······這樣繼續(xù)分割下去，所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長?！案顖A求周”割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。如果變量X按照某一規(guī)律無限地接近一個常數C,則稱C為X的極限。記作或極限概念與數列的極限定性描述limX=CX→ClimX=CX→ClimX=CX→C極限概念與數列的極限定量分析1項號項這一項與0的差的絕對值12345678

2、……………………定量分析212345678…項號邊數內接多邊形周長241263極限概念與數列的極限2.5980762113533.0000000000003.1058285412303.132628613281483.139350203047963.1410319508911923.1414524722853843.141557607912……………1x2數列極限的ε-N定義極限概念與數列的極限一般地，對于數列{an}，如果存在一個常數A，無論預先指定多么小的正數ε，都能在數列中找到一項aN，使得這一項后

3、面的所有項與A的差的絕對值都小于ε（即當n>N時，

4、an-A

5、<ε恒成立），就把常數A叫做數列{an}的極限，記作an=A。考察數列的極限：21+（-1)n+1極限概念與數列的極限1x2已知數列21+（-1)n+1(1)寫出這個數列的各項與1的差的絕對值;(2)第幾項后面的所有項與1的差的絕對值都小于0.1?都小于0.001?都小于0.0003?(3)第幾項后面的所有項與1的差的絕對值都小于任何預先指定的正數ε?(4)1是不是這個數列的極限?解：（1）這個數列的各項與1的差的絕對值依次是1，（2）（4）（

6、3）.例1是這個數列的極限1極限概念與數列的極限（1）就極限的全過程來說，ε必須具有絕對的任意性。只有這樣，當n>N時，不等式

7、an-A

8、〈ε恒成立，才能表明數列{an}無限趨近于A。（2）就極限的全過程的某一瞬間來說，ε又是具體給定的。隨著ε取值的越來越小，表明數列{an}不斷趨近于A的無限過程。（3）數列{an}的極限是A。an可能比A小，無限趨近于A；無限趨近于A；an也可能時而小于A時而大于A，無限趨近于A…...an也可能比A大，數列極限定義的說明極限概念與數列的極限判斷下列命題是否正確（正確的

9、選√，不正確的選×）：(1)對于數列{an},如果存在常數A,當正數ε等于0.1,0.01,0.001時，都能在數列中找到一項aN，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值都小于ε，則A是數列{an}的極限………………………….()(2)對于數列{an},如果存在常數A,無論預先給定多么小的正數ε，都能在數列中找到一項aN，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間（A-ε，A+ε）,則A是數列{an}的極限..………………….()(3)如果數列{an}的每一項都是A,那么數列{an}的極限是A。()(4)在數列極

10、限的“εN”定義中，N的取值由ε來決定，即一旦ε取定，N就只能是某一固定的自然數?！?()(6)若數列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數列的極限仍為A?！?()(5)如果數列{an}的極限是A,那么對于預先給定的小正數ε，在區(qū)間（A-ε，A+ε）內一定有該數列的無窮多項?！?.()極限概念與數列的極限判斷下列命題是否正確（正確的選√，不正確的選×）：(1)對于數列{an},如果存在常數A,當正數ε等于0.1,0.01,0.001時，都能

11、在數列中找到一項aN，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值都小于ε，則A是數列{an}的極限?！?()(2)對于數列{an},如果存在常數A,無論預先給定多么小的正數ε，都能在數列中找到一項aN，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間（A-ε，A+ε）,則A是數列{an}的極限?！?()(3)如果數列{an}的每一項都是A,那么數列{an}的極限是A。()(4)在數列極限的“εN”定義中，N的取值由ε來決定，即一旦ε取定，N就只能是某一固定的自然數?！?()(6)若

12、數列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數列的極限仍為A。………………………………………………..()(5)如果數列{an}的極限是A,那么對于預先給定的小正數ε，在區(qū)間（A-ε，A+ε）內一定有該數列的無窮多項。…………..()極限概念與數列的極限判斷下列命題是否正確（正確的選√，不正確的選×）：(1)對于數列{an},如果存在常數A,當正數ε等于0.1,0.01,0.001時，都能在數列中找到一項aN，使得這一項