空間向量與立體幾何(3)

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1、興化市板橋高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組期末復(fù)習(xí)教學(xué)案（理）空間向量與立體幾何一、知識(shí)梳理????1、空間向量及其運(yùn)算?????（1）空間向量的基本知識(shí)：??????????①定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長(zhǎng)度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。??????????②空間向量基本定理：???????????ⅰ定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。且把叫做空間的一個(gè)基底，都叫基向量。???????????ⅱ正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那

2、么這個(gè)基底叫正交基底。???????????ⅲ單位正交基底：當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱為單位正交基底，通常用表示。???????????ⅳ空間四點(diǎn)共面：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間中任意一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。????????③共線向量（平行向量）：??????????ⅰ定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作。??規(guī)定：零向量與任意向量共線；??????????????ⅱ共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量平行的充要條件是：存在實(shí)數(shù)λ，使。????????????????④共

3、面向量：???????????ⅰ定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量。??????????ⅱ向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或在α內(nèi)，則說(shuō)向量平行于平面α，記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。ⅲ共面向量定理：如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使。??????????ⅳ空間的三個(gè)向量共面的條件：當(dāng)、、6興化市板橋高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組期末復(fù)習(xí)教學(xué)案（理）都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)際上也是、、所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的

4、平面內(nèi)。??????????ⅴ共面向量定理的推論：空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn)O，有。???????⑤空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，（兩個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。⑥兩個(gè)向量的數(shù)量積：????????ⅰ定義：已知空間兩個(gè)非零向量、，則叫做向量、的數(shù)量積，記作，即：。????????ⅱ規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。????????ⅲ注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量、的點(diǎn)積（或內(nèi)積），它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。????????ⅳ數(shù)量積的幾

5、何意義：叫做向量在方向上的投影（其中θ為向量和的夾角）。即：數(shù)量積等于向量的模與向量在方向上的投影的乘積。????????ⅴ基本性質(zhì)：6興化市板橋高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組期末復(fù)習(xí)教學(xué)案（理）。ⅵ運(yùn)算律：（2）空間向量的線性運(yùn)算：??????①定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下：??????②加法：；③減法：??????④數(shù)乘向量：??????⑤運(yùn)算律：???????ⅰ加法交換律：，ⅱ加法結(jié)合律：???????ⅲ數(shù)乘分配律：2、空間向量的坐標(biāo)表示：????（1）空間直角坐標(biāo)系：????????①空間直角坐標(biāo)系O-xyz，在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底

6、，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。????????②右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；?????（2）空間向量的坐標(biāo)表示：?????????①已知空間直角坐標(biāo)系和向量，且設(shè)為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理知存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作????????②在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)于空間任一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，若6興化

7、市板橋高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組期末復(fù)習(xí)教學(xué)案（理），則有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)，寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變。③規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空間任意一個(gè)向量與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。④一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。?設(shè)，，??????????則：??（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：?⑦空間兩點(diǎn)間