第3章 空間向量與立體幾何 §3.1　空間向量及其運算

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1、第三章間向量與立體幾何§3.1　空間向量及其運算　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點一　空間向量概念的應(yīng)用　給出下列命題：①將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓；②若空間向量a、b滿足

2、a

3、＝

4、b

5、，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=;④若空間向量m、n、p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中假命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析　①假命題．將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點時，它們的終點將構(gòu)成一個球面，而不是一個圓；②假命題．根據(jù)向量相等的定義，要保

6、證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同；與與的方向相同，模也相等，應(yīng)有＝；④真命題．向量的相等滿足遞推規(guī)律；⑤假命題．空間中任意兩個單位向量模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯．故選C.答案　C知識點二　空間向量的運算化簡：（）()解方法一（）()=+=+++=（+）+（+）=+=0。方法二（）()=+=（）+（）=+=0。在四面體ABCD中，M為BC的中點，Q為△BCD的重心，設(shè)AB=bAC=cAD=d，試用b，c，d表示向量，、，，和。解如圖所示=+=db,=+=cb,=+=dc,=(+)=(bd

7、+cd)=(b+c2d),=+=d+,=d+(b+c2d)=(b+c+d).知識點三　證明共線問題　已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點，且=,=.求證：四邊形EFGH是梯形.證明∵E、H分別是AB、AD的中點所以=,=,=-==()==（-）={-}=（）=,∴四邊形EFGH是梯形.知識點四　證明共面問題正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1和A1D1的中點.證明：向量，，是共面向量.證明方法一如圖所示.=++=+-=（）。由向量共面的充要條件知，，，是共面向量。方法二　連結(jié)A1

8、D、BD，取A1D中點G，連結(jié)FG、BG(如圖所示)，則有FGDD1，BEDD1，∴FGBE.∴四邊形BEFG為平行四邊形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD.∴，，都與平面A1BD平行∴，，共面.知識點五　數(shù)量積的運算　如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，計算（1）·;(2)·;(3)·.解(1）·=·

9、

10、=

11、

12、·

13、

14、·cos<·>60°=,所以·=,（2）·=

15、

16、·

17、

18、·cos<,>=×1×1×cos0°=,所以·=,(3)·=·=

19、

20、·

21、

22、·c

23、os<,>=×1×1×cos120°=-，所以·=-，知識點六　數(shù)量積的應(yīng)用　已知點O是正△ABC平面外的一點，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分別是AB、OC的中點，試求OE與BF所成角的余弦值．如圖所示，設(shè)=a,=b,=c,則a·b=b·c=c·a=，

24、a

25、=

26、b

27、=

28、c

29、=1，=(a+b),=c-b,·=(a+b)·{c-b}={a·c+b·c-a·b-

30、b

31、2}=×{+--1}=-,∴cos〈,〉===∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為.　如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB與

32、CD成60°角，求B、D間的距離．　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD.證明如圖所示，設(shè)=a，=b，=c，則a·b=0，b·c=0，c·a=0，且

33、a

34、=

35、b

36、=

37、c

38、，而=+=+(+)=e+(a+b),=-=b–a,=+=(+)+=(a+b)-c∴·={c+a+b}·(b–a)=c·(b–a)+(a+b)·(b–a)=c·b-c·a+(

39、b

40、2-

41、a

42、2·={c+a+b}–{a+b-c}=(

43、a

44、2+

45、b

46、2)-

47、c

48、2=0∴A1O平面BDG知識點七　空間向量的坐標(biāo)運算　已知

49、O為坐標(biāo)原點，A，B，C三點的坐標(biāo)分別為(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求滿足下列條件的P點的坐(1)=();(2)=();解=（2，6，3），=（4，3，1）。（1）=()=(6,3,4)={3,,2},則P點的坐標(biāo)為{3，，2）.(2)設(shè)P（x,y,z）則，=（x–2,y+1,z–2）.又因為(-)=(3,,-2),所以x=5,y=,z=0,故P點坐標(biāo)為（5，，0）.知識點八　坐標(biāo)運算的應(yīng)用　在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為D1D、BD的中點，G在棱CD上，且CG＝CD，H為C1G的中點，應(yīng)用

50、空間向量方法求解下列問題．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求EF與C1G所成的角