人教A版高數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案教案 第3章 空間向量與立體幾何 §3.1　空間向量及其運(yùn)算

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1、第三章間向量與立體幾何§3.1　空間向量及其運(yùn)算　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識(shí)點(diǎn)一　空間向量概念的應(yīng)用　給出下列命題：①將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；②若空間向量a、b滿(mǎn)足

2、a

3、＝

4、b

5、，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=;④若空間向量m、n、p滿(mǎn)足m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中假命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析?、偌倜}．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)將構(gòu)成一個(gè)球面，而不是一個(gè)圓；②假命題．根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等

6、，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同；與與的方向相同，模也相等，應(yīng)有＝；④真命題．向量的相等滿(mǎn)足遞推規(guī)律；⑤假命題．空間中任意兩個(gè)單位向量模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)．故選C.答案　C知識(shí)點(diǎn)二　空間向量的運(yùn)算化簡(jiǎn)：（）()解方法一（）()=+=+++=（+）+（+）=+=0。方法二（）()=+=（）+（）=+=0。在四面體ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，Q為△BCD的重心，設(shè)AB=bAC=cAD=d，試用b，c，d表示向量，、，，和。解如圖所示=+=db,=+=cb,=+=dc,13=(+)=(bd+cd)=(b+c2d),=+=d+,=d+(b

7、+c2d)=(b+c+d).知識(shí)點(diǎn)三　證明共線(xiàn)問(wèn)題　已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，且=,=.求證：四邊形EFGH是梯形.證明∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)所以=,=,=-==()==（-）={-}=（）=,∴四邊形EFGH是梯形.知識(shí)點(diǎn)四　證明共面問(wèn)題正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1和A1D1的中點(diǎn).證明：向量，，是共面向量.13證明方法一如圖所示.=++=+-=（）。由向量共面的充要條件知，，，是共面向量。方法二　連結(jié)A1D、BD，取A1D中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG(如圖所示)，則有FGDD1，

8、BEDD1，∴FGBE.∴四邊形BEFG為平行四邊形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD.∴，，都與平面A1BD平行∴，，共面.知識(shí)點(diǎn)五　數(shù)量積的運(yùn)算　如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，計(jì)算（1）·;(2)·;(3)·.解(1）·=·

9、

10、=

11、

12、·

13、

14、·cos<·>60°=,所以·=,（2）·=

15、

16、·

17、

18、·cos<,>=×1×1×cos0°=,所以·=,(3)·=·13=

19、

20、·

21、

22、·cos<,>=×1×1×cos120°=-，所以·=-，知識(shí)點(diǎn)六　數(shù)量積的應(yīng)用　已知點(diǎn)O是正△

23、ABC平面外的一點(diǎn)，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分別是AB、OC的中點(diǎn)，試求OE與BF所成角的余弦值．如圖所示，設(shè)=a,=b,=c,則a·b=b·c=c·a=，

24、a

25、=

26、b

27、=

28、c

29、=1，=(a+b),=c-b,·=(a+b)·{c-b}={a·c+b·c-a·b-

30、b

31、2}=×{+--1}=-,∴cos〈,〉===∴異面直線(xiàn)OE與BF所成角的余弦值為.　如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證

32、：A1O⊥平面GBD.證明如圖所示，設(shè)=a，=b，=c，13則a·b=0，b·c=0，c·a=0，且

33、a

34、=

35、b

36、=

37、c

38、，而=+=+(+)=e+(a+b),=-=b–a,=+=(+)+=(a+b)-c∴·={c+a+b}·(b–a)=c·(b–a)+(a+b)·(b–a)=c·b-c·a+(

39、b

40、2-

41、a

42、2·={c+a+b}–{a+b-c}=(

43、a

44、2+

45、b

46、2)-

47、c

48、2=0∴A1O平面BDG知識(shí)點(diǎn)七　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算　已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求滿(mǎn)足下列條件的P點(diǎn)的坐(1)=();(2)=

49、();解=（2，6，3），=（4，3，1）。（1）=()=(6,3,4)={3,,2},則P點(diǎn)的坐標(biāo)為{3，，2）.(2)設(shè)P（x,y,z）則，=（x–2,y+1,z–2）.又因?yàn)?-)=(3,,-2),所以x=5,y=,z=0,故P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，，0）.知識(shí)點(diǎn)八　坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用　在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為D1D、BD的中點(diǎn)，G13在棱CD上，且CG＝CD，H為C1G的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求