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《隨機信號概論特征函數(shù)隨機過程統(tǒng)計特性》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應用文檔-天天文庫。
1、1.4隨機變量的特征函數(shù)引言：分布函數(shù)：反映隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。數(shù)字特征：反映、掌握分布函數(shù)的某些特征。矩是最主要的特征，但隨著矩的階數(shù)的增高，計算機較麻煩，尋求一種有效的方法來計算。特征函數(shù)：一種計算各階矩的有效工具。特別是計算、處理多個隨機變量，特征函數(shù)顯示其優(yōu)越性一。1．4．1特征函數(shù)的定義(1)設是定義在概率空間上的隨機變量，它的分布函數(shù)為，稱的數(shù)學期望為的特征函數(shù)，記為。當為離散型隨機變量時，其特征函數(shù)為：當為連續(xù)型隨機變量時，其特征函數(shù)為：(2)利用特征函數(shù)求概率密度函數(shù)證明：利用傅里葉變換與反變換關(guān)系可證明。舉例：例1：求標準正態(tài)分布的特征函數(shù)。1．4
2、．2特征函數(shù)的性質(zhì)(1)(2)兩兩相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于各個隨機變量的特征函數(shù)之積，即：若，式中為個兩兩相互獨立的隨機變量，則17(2)求矩公式：(4)特征函數(shù)的級數(shù)展開1．4．3特征函數(shù)應用舉例例1．設與都服從標準正態(tài)分布，且相互獨立，求的概率密度函數(shù)。解：用特征函數(shù)方法是最簡單的方法。因為，所以，同樣，由于與相互獨立，于是即：例2：設隨機變量在是均勻分布的，即，求的概率密度函數(shù)。解：，171．5隨機過程的概念及分類引言：隨機變量是不確定事件的量化函數(shù)，變量由樣本點決定，但同時還隨時間變化而變化，即：，簡記為。更一般地，在試驗過程中，隨機變量有可能隨某
3、個參量(不一定是時間)的變化而變化。我們把這種隨某個參量而變化的隨機變量統(tǒng)稱為隨機函數(shù)，而把以時間作為參變量的隨機函數(shù)稱為隨機過程。1．5．1隨機過程的定義定義1：設隨機試驗的樣本空間是，若對于每個元素，總有一個確定的時間函數(shù)，與它相對應。這樣對于所有的，就可以得到一族時間的函數(shù)，將其稱為隨機過程。定義2：對于每個特定的時間，都是隨機變量，則稱是隨機過程。對隨機過程的理解：在以為橫軸，為縱軸的坐標系中，表現(xiàn)為有一定統(tǒng)計規(guī)律的曲線族(多條曲線，主要原因是因為的取值不同)。當固定在時，可隨機地取值(有分布規(guī)律性)。如圖：X軸軸17具體有四種不同的情況：(1)當，都是可變量
4、時，是時間函數(shù)族；(2)當是可變量，固定時，是一個確定的時間函數(shù)；(3)當固定，是可變量時，是一個隨機變量；(4)當固定，固定時，是一個確定值。1．5．2隨機過程的分類一、按時間和狀態(tài)分：(時間：的取值情況，狀態(tài)：的取值情況。)①連續(xù)型隨機過程：當固定時，是連續(xù)型隨機變量。②離散型隨機過程：當固定時，是離散型隨機變量。③連續(xù)型隨機序列：當取定時，是連續(xù)型隨機變量，但只等間距取有限或可數(shù)個值。④離散型隨機序列：當取定時，是離型隨機變量，但只等間距取有限或可數(shù)個值。二、按樣本函數(shù)的形式分：①不確定隨機過程：如果任意樣本函數(shù)的未來值，不能由過去觀測值準確預測。②確定的隨機過
5、程：如果任意樣本函數(shù)的未來值，可以由過去觀測值準確預測。即只要初值確定，其它值便確定，如。三、按隨機過程的統(tǒng)計特性、分布函數(shù)的不同進行分類①平衡隨機過程②高斯過程③馬爾可夫過程④獨立增量過程171．6隨機過程的統(tǒng)計特征當?shù)娜《ê?，是一隨機變量。對于隨機變量，要研究它的三大要素：分布函數(shù)（概率密度）、數(shù)字特征（期望、方差）、特征函數(shù)。1．6．1隨機過程的概率分布一、一維概率分布設隨機過程在任一特定時刻的取值是一維隨機變量，記稱為隨機過程的一維分布函數(shù)。如果對于的偏導數(shù)存在，則有稱為隨機過程的一維概率密度。二、二維概率分布設隨機過程在任意兩個時刻、的取值和構(gòu)成二維隨機變量
6、(，)，它們的聯(lián)合概率是取值、和時刻、的函數(shù)，記稱為隨機過程的二維分布函數(shù)。如果對于、的二階混合偏導數(shù)存在，則有稱為隨機過程的二維概率密度。三、多維概率分布設隨機過程在任意兩個時刻，……的取值,……構(gòu)成多維隨機變量()，它們的聯(lián)合概率17是取值,,……和時刻,,……的函數(shù)，記稱為隨機過程的多維分布函數(shù)。如果對于,,……的階混合偏導數(shù)存在，則有稱為隨機過程的多維概率密度。1．6．2隨機過程的數(shù)字特征一、數(shù)學期望隨機過程當(取定)時，是一隨機變量，因此可以計算數(shù)學期望。定義：稱為隨機過程的數(shù)學期望，它是時間的確定函數(shù)。數(shù)學期望的幾何描述：曲線族的中軸線。如圖：二、均方值與
7、方差17定義：隨機過程的二階原點矩定義為稱為隨機過程的均方值。二階中心矩記作，稱之為隨機過程的方差。方差的幾何描述。稱為中心化的隨機過程。三、自相關(guān)函數(shù)兩個隨機過程和可以有相同的期望和方差，但可以是完全不同類型的隨機過程。自相關(guān)函數(shù)(簡稱相關(guān)函數(shù))就是用來描述隨機任意兩個時刻的狀態(tài)之間的內(nèi)存聯(lián)系的重要特征。定義：實隨機過程的自相關(guān)函數(shù)定義為它反映了在任意兩個時間的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。如果，則實隨機過程的自協(xié)方差函數(shù)定義為當時，1．7隨機過程的特征函數(shù)一、一維特征函數(shù)隨機過程在任一時刻的取值是一維隨機變量。的特征函數(shù)定義為：17式中，為過程的概率密度函
