對立體幾何中若干錯解的剖析

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1、對立體幾何中若干錯解的剖析丁勇在立體幾何的學習中，倘若對基本的概念認識不清，缺乏一定的空間想象能力，對問題的思考不夠嚴謹，就很容易導致解題的失誤，下面舉例說明。例1.已知空間四邊形的對角線，，、分別是、的中點，。求異面直線與所成的角。[錯解]取中點，連結、，因為、、分別為、、的中點，所以∥且?！吻?。為異面直線與所成的角。在△中，由余弦定理得，所以，所以異面直線與所成的角為。[剖析]上述解題過程中沒有注意到兩條異面直線所成的角的范圍是。所以異面直線與所成的角為，例2.把長、寬分別為4、3的長方形沿對角線折成直二面角，求頂點和的距離。[錯解]如圖，

2、取的中點，連結、，因為，，所以==，由勾股定理可求得。[剖析]上述錯解是由于對二面角的平面角理解不深造成的。事實上，由于、與棱不垂直，并不是二面角的平面角，也不是直角。如圖過點作，過點作，，為兩條異面直線，在，，因為所以，同理，又所以同理，而應用異面直線距離公式去求，這里，二面角為直二面角，與的夾角，=，，，所以所以故和的距離。例3.矩形中，，≤，沿對角線折起，使和所在平面互相垂直，此時的長為，求的長。[錯解]作于，于，連結，，設，在中，，則，即?！儆傻让娣e公式在中，即把①代入上式得所以或，即或[剖析]錯解忽略了題中所給的條件≤，即≤。因而時

3、，不符合≤，所以，即。例4.四棱錐，底面是邊長為的正方形，平面平面，、與底面所在平面所成角分別為和。求棱錐的高。（甲）（乙）[錯解]因為平面平面，所以過作于，則平面。（如圖甲）因為設，則,所以由得，所以。所以所求棱錐的高為。[剖析]題目并未說四棱錐是正棱錐，因此，頂點在底面上的射影不一定在底面多邊形的內部（如圖乙）。正確作圖是解幾何題的關鍵，它能引導我們的思路，所以作圖時要十分注意。若在上，由得，所以。若在的延長線上時，則由知，，所以,故棱錐的高為或。例5.正三棱柱的底面的一邊與側棱都為，過底面的一邊與上下底面中心連線的中點作棱柱的截面，求截面

4、的面積。（甲）（乙）[錯解]設上下底面中心為、。為連線的中點，為的中點，連結并延長交于一點，則即為所求的截面，如圖（甲）。因為即。所以。所以。[剖析]上述解答，似乎沒有毛病。但仔細檢查不難發(fā)現(xiàn)，＞。這說明點不應落在內，而應落在的延長線上，見圖（乙）。設交上底面于點，過點作，使得∥，則等腰梯形才是所求的截面。因為，又，所以，所以。即所求棱柱的截面面積為面積單位。例6.在半徑為15的球內有一個底面邊長為的內接正三棱錐，求此正三棱錐的體積.[錯解]如（圖一）所示，球心的位置，?！魇沁呴L為的正三角形，它的中心為。也是點和點在平面上的射影。所以所以三棱錐

5、的高，又所以三棱錐的體積[剖析]上面的解法只考慮了三棱錐的頂點與球心在平面的同側，而遺漏了在異側的情況。如（圖二）所示，三棱錐的高。所以此時三棱錐的體積為,所以此題應該有兩解。導致錯誤的主要原因是對正棱錐的概念認識不清及考慮問題時不夠周密。圖二圖一總之，易錯題往往有其深刻的背景，導致錯誤的原因也錯綜復雜，所以對典型的易錯題應該認真的整理、歸納和總結，從中吸取經(jīng)驗和教訓。