奧數(shù)：第7講幾何問題第講

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1、第07講幾何問題第十講幾何綜合之一例1今有9盆花要在平地上擺成9行，其中每盆花都有3行通過．而且每行都通過三盆花，請你給出一種設(shè)計方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行．答案如圖7—1所示．分析要求擺成9行，每行都通過3盆花，所以總共通過27盆(次)花．另一方面，每盆花都有3行通過，所以每盆花都數(shù)了3次．9盆花總共數(shù)了27次，與前面的計算結(jié)果相符，所以題中的設(shè)計方案是可以實現(xiàn)的．詳解因為每盆花都有3行通過，所以花的位置應(yīng)該是3條直線的交點，而且每條直線都要經(jīng)過3個點．通過構(gòu)造三角形的設(shè)計方案，可以得到符合條件的解．評注本題答案可以不唯一．例2圖

2、7—2中共有16條線段，每兩條相鄰的線段都是互相垂直的．為了計算出這個圖形的周長，最少要量出多少條線段?答案6條．詳解為了說明的方便，將圖7—2中各個頂點分別標號，如圖7—3所示．假設(shè)有一只螞蟻從A點出發(fā)，順從A到B的順時針方向沿著圖7—3的邊爬行一周，最后又回到A點，則它爬行的路程正好是圖形的周長．由于螞蟻從A點出發(fā)，又回到了A點，所以它向右爬行的總路程等于向左爬行的總路程．螞蟻從左到右爬行的線段有AB、CD、EF，從右到左爬行的線段有C,H、I．1、KL、MN、OP，所以同理，螞蟻向上爬行的總路程等于向下爬行的總路程．螞蟻從上到下爬行的線

3、段有BC,、FG、LM，從下向上爬行的線段有DE、HI、．，K、NO、PA．所以!因此，我們只需分別量出線段AB、CD、EF、BC、FG、LM的長度，然后將它們的和乘以2倍，就可以得到圖7—2的周長．評注用這種“螞蟻上下山”法，可以很容易解決這一類問題．請參閱三年級第19講例5．例3如圖7—4，涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米．問：大正六角星形的面積是多少平方厘米?答案48平方厘米．分析題中惟一的已知條件是小正六角星的面積，要求出大正六角星的面積，必須將它和小正六角形進行比較．為了便于比較，可以先把小正六角形分割成12個大小完全相同

4、等邊三角形，如圖7—5所示．顯然，三角形ABD和三三二角形ADC等底同高，面積相等。同樣，三角形BFA和三角形BAE也等底同高，面積相等．這樣通過分割比較，就可以得到大正六角形的面積．詳解由分析知，小正六角星被分成了12個面積相等的等邊三角形，每個等邊三角形的面積等于16÷12=平方厘米．因為三角形ABD與三角形ADC的面積相等，所以三角形ABD的面積也是平方厘米：同理，三角形ACE的面積也等于魯平方厘米．由此可得：由分析知，三角形BFA~NBAE面積相等，所以三角形BFA的面積等于4平方厘米．由觀察可以看出，大正六角星由小正六角星、6個與三

5、角形ABD大小形狀完全一樣的三角形，以及6個與三角形BAF大小形狀完全一樣的三角形組成．所以評注先分割，然后再分塊比較，是由已知圖形的面積計算未知圖形面積的一種常用方法．例4如圖7—6，P是三角形ABC內(nèi)一點，DE平行于AB，F(xiàn)G平行于BC，HI平行于CA，四邊形AIPD的面積是12，四邊形PGCH的面積是15，四邊形BEPF的面積是20．那么三角形ABC的面積是多少?答案72．分析如果知道三角形PDG、PEH、PFI各自的面積，則三角形ABC的面積就等于三個四邊形和上述三個三角形的面積之和．但是題中沒有給出任何長度的信息，要計算三角形PDG

6、、PEH、PIV的面積，惟一可行的辦法是把它們和三個已知面積的四邊形比較，找出它們面積之間的關(guān)系．在比較過程中，三角形之間的面積關(guān)系是最容易分析的，所以應(yīng)該添加輔助線，把四邊形分割成三角形，然后再進行比較．詳解顯然四邊形AIPD、PGCH、FPEB都是平行四邊形．因為平行四邊形FPEB與平行四邊形Pl；CH的高相等，所以它們的面積比等于它們的底邊長度之比．因此有：同樣的道理我們先計算三角形PEH的面積．連接線段PC、HD，如圖7—7所示．因為IH平行于AC，利用等底等高三角形面積相等，我們有注意到三角形HPE與三角形HPD底邊共線，高相等，所

7、以從而有接著計算三角形PGD的面積．連接線段EG、HG，如圖7—8所示，因為FG平行于BC，同樣利用等底等高三角形面積相等，有因為三角形GDP和三角形GPE底邊共線，高相等，所以從而有最后計算三角形PFI的面積．連接線段FH、PB，如圖7—9所示．因為FG平行BC，以因為三角形FPH和三角形FPI底邊共線，高相等，所以從而有最后得評注利用線段之間的比例關(guān)系，求得面積的比例關(guān)系，或者利用面積之間的比例關(guān)系，求得線段之間的比例關(guān)系，是幾何計算中必須熟練掌握的技巧．例5如圖7—10，三個同樣大小的正方形放在一個長方形的盒內(nèi)，A和B是兩個正方形重疊部

8、分，C、D、E是空出的部分．這些部分都是長方形，它們的面積比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么這個長方形的長與寬之比是多少?答案5：3．分析已知的是圖形