淺談分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解存在性

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1、淺談分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解存在性【摘要】作為數(shù)學(xué)的重要組成部分分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)發(fā)展了將近5個世紀(jì)，所謂分?jǐn)?shù)階微積分是指微分的階數(shù)或者積分的階數(shù)不再是傳統(tǒng)的整數(shù)階，而是任意的一個實數(shù)甚至于可以是復(fù)數(shù)。之所以現(xiàn)在有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的研究內(nèi)容非常之多，是因為分?jǐn)?shù)階微積分方程在混沌理論、高分子解鏈、非牛頓流體力學(xué)等很多領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，而且經(jīng)過實際檢驗，分?jǐn)?shù)階微積分方程對于研究結(jié)果的準(zhǔn)確性有著很大影響。基于此，本文將對分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性進行研究?！娟P(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)階微分方程存在性分?jǐn)?shù)階微分方程發(fā)展至今已經(jīng)有300多年的歷史，相較于整數(shù)階微積分而言，也已經(jīng)在很多領(lǐng)

2、域有著較為廣泛的應(yīng)用。如今，分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)成為處理幾何與分?jǐn)?shù)維動力學(xué)的最佳分析工具。分?jǐn)?shù)階微分方程研究的重點是正解的存在性、多重性以及正解的分歧與漸進性等。雖然說整數(shù)階微分方程的很多研究成果，如函數(shù)論、積分變換、特殊函數(shù)等等，和分?jǐn)?shù)階微分方程在一定程度上有些聯(lián)系，而且有些研究成果可以直接用于分析分?jǐn)?shù)階微分方程。但實際上分?jǐn)?shù)階微分方程理論體系只能算是剛剛有了雛形，很多研究內(nèi)容均是將整數(shù)階的分析方法照搬到分?jǐn)?shù)階微分方程上，如算子演變、組合方法、不定點理論等。不同的邊值條件和階數(shù)條件，我們可以使用不同的方法來求解分?jǐn)?shù)階微分方程，也可用來證明其正解的存在性。就目前的研究情況

3、來看，使用最多的求解方法就是特殊函數(shù)法，這里的特殊函數(shù)以Green函數(shù)使用最多。對于不同的邊值條件和階數(shù)條件，求解Green函數(shù)的方法以及所得到的Green函數(shù)值會有所不同，所以在估計分?jǐn)?shù)階微分方程正解存在條件以及證明正解存在性的方法上，也會有較大的區(qū)別。1819年,Lacroix率先提出了1/2導(dǎo)數(shù)的結(jié)果：dl/2y/dxl/2二;之后在1832年,Liouville根據(jù)級數(shù)的概念對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進行了重新定義；1853年，Riemann按照定積分的形式對分?jǐn)?shù)階微分進行了定義。在整數(shù)階微積分理論的前提下，分?jǐn)?shù)級微積分有著更深入的發(fā)展，它對函數(shù)的階數(shù)沒有任何限制，甚至于是

4、復(fù)數(shù)都可以進行計算。自然界中很多非線性問題使用整數(shù)階微積分概念來解決有一定的難度，但是分?jǐn)?shù)階微積分就有著較大的優(yōu)勢。譬如，研究擴散空間理論，假如某一種微利的擴散傳播速度與古典布朗運動不一致，我們就可以用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來取代空間擴散二階導(dǎo)數(shù)，從而更廣泛的解釋分析擴散運動。在1974年的國際分?jǐn)?shù)階微積分會議上，很多專家都認(rèn)可了分?jǐn)?shù)階微積分在很多領(lǐng)域中的應(yīng)用。1982年，B.B.Mandelbrot首次對分?jǐn)?shù)維數(shù)在自然界以及很多科技領(lǐng)域中的應(yīng)用進行了舉例分析。分?jǐn)?shù)階微分方程之所以能夠受到很多研究人員的注意，主要是因為其在各個領(lǐng)域中的廣泛適用性，相較于整數(shù)階微分方程，它能夠更加細(xì)

5、致準(zhǔn)確的對自然現(xiàn)象進行描述，而且能夠全面的模擬自然界物理現(xiàn)象及運動。現(xiàn)在研究人員已經(jīng)對分?jǐn)?shù)階初值問題解的存在性理論進行了較為深入的研究，而且基本均是將分?jǐn)?shù)階問題轉(zhuǎn)化為等價的積分方程來進行的，線性以及非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性是當(dāng)前國內(nèi)數(shù)學(xué)界重點研究的課題。1988年，A.M.A.El-Sayed對分?jǐn)?shù)階微分方程Dax=f(t,x),ae(0,1)進行了深入的研究，而且求出了該方程解的存在唯一解定理。之后這一定理就被廣泛應(yīng)用于其他相關(guān)研究中，2005年，俞成和高國柱根據(jù)Shauder不動點定理分析了這個方程解的一個存在唯一性定理。2005年，白占兵和呂海深對

6、非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題進行了相應(yīng)研究，從方程DaO+u(t)=f(t,u(t))=0,其中tw(0,l)o這里定義u(0)=u(1)=0,aW(0,2]o方程中的Da0+是一個標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouvi11e導(dǎo)數(shù)，而且f：[0,1]X[0,+°o)。根據(jù)這一類問題Green函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合Guo-KrasnoselJskii不動點定理以及Leggett-Williams不動點定理，就可以對該問題正解的存在性以及重數(shù)定義。2009年，蔣達清和苑成軍對這類問題進行了深入研究，并給出了Green函數(shù)的一些新性質(zhì)以及相應(yīng)的應(yīng)用范圍?，F(xiàn)在對非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的

7、邊值問題主要分析手段有Laplace變換、上下解法、Adomian分解法、各種不動點理論等。而且應(yīng)用不動點理論研究邊值問題時，還可以細(xì)分為Schauder不動點定理法、Guo-Krasnosel?skii不動點定理法、Leggett-W訂liams不動點定理法等。2007年，M.EI-Shahed分析了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題，DaO+u(t)+入a(t)f(u(t))=0,這里的Da0+就是標(biāo)準(zhǔn)Riemann-Liouvi11e分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。現(xiàn)在分?jǐn)?shù)階微分方程的主要結(jié)論之一就是定理：這里定義f在IXR->R上連續(xù)，而且存在非負(fù)函數(shù)a(t)、h(t),使