模n地剩余類環(huán)地子環(huán)

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案模的剩余類環(huán)的子環(huán)作者：***指導(dǎo)老師：***摘要：模剩余類環(huán)是一種比較透徹的特殊環(huán)，模的剩余類環(huán)為有限可換環(huán)、整環(huán)及域都提供了豐富的例證，剩余類環(huán)對(duì)Euler函數(shù)關(guān)系式、Eisemstein判別法、整數(shù)多項(xiàng)式無(wú)整數(shù)根、Euler定理及Fermat小定理等數(shù)論的古典結(jié)果給出純代數(shù)的證明.并從代數(shù)的角度觀察熟知完全及簡(jiǎn)化剩余系的一些性質(zhì).關(guān)鍵字：模剩余類環(huán)的子環(huán)冪等元理想1引言環(huán)是有兩個(gè)二元運(yùn)算建立在群的基礎(chǔ)上的一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，因此它的許多基本概念與理論是群的相應(yīng)內(nèi)容的推廣，同時(shí)環(huán)也有一些特殊的問(wèn)題，例如因子分

2、解問(wèn)題等.2模的剩余類環(huán)的子環(huán)的性質(zhì)和運(yùn)用2.1基本概念定義2.1.1任取正整數(shù),令則為個(gè)剩余類的集合，對(duì)任意，規(guī)定，，則關(guān)于這兩個(gè)運(yùn)算做成一個(gè)環(huán),且是一個(gè)具有單位元的交換環(huán),稱之為以為模的剩余類環(huán),或簡(jiǎn)稱模剩余類環(huán).定義2.1.2對(duì)任意,若類中有一個(gè)整數(shù)與互素,則這個(gè)類中所有整數(shù)均同互素,因此稱類與互素.定義2.1.3稱環(huán)的一個(gè)非空子集叫做的一個(gè)理想子環(huán),假如:(i),(ii),在代數(shù)運(yùn)算中,我們都知道若,,則必有,相反若,則必有或成立,而在環(huán)中是否還存在這樣的運(yùn)算性質(zhì)呢?我們有：定義2.1.4模剩余環(huán)中,如果任意元

3、,,但,那么稱為的一個(gè)左零因子,為的一個(gè)右零因子,若的左零因子與右零因子都為,稱精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案為的零因子.定義2.1.5一個(gè)環(huán)中若有元素使得,有,那么稱元素叫做環(huán)的單位元，記作1.定義2.1.6在環(huán)中,如果,滿足:任意,有,則稱是中的逆元，且與互逆.定義2.1.7設(shè)為任意一個(gè)環(huán),而是的理想.那么稱作關(guān)于理想的剩余類環(huán)(也叫商環(huán)或差環(huán)),其中中,每個(gè)元素叫作模的剩余類.定義2.1.8模剩余環(huán)的乘法群(當(dāng)為素?cái)?shù),中的所有非零元作成乘法群,當(dāng)為合數(shù),中的所有可逆元作成乘法群)中,適合的元素稱為環(huán)的一個(gè)冪等元.定義2.1

4、.9設(shè),若存在使得,則稱整除,記為,稱為的因數(shù),而稱為的倍數(shù).否則,稱不整除.2.2剩余類環(huán)的基本性質(zhì)定理2.2.1在模剩余環(huán)中,若,則有.定理2.2.2在中,每個(gè)元素的倍均為零.即.定理2.2.3設(shè),則的充要條件為.2.3剩余類環(huán)的一般性質(zhì)利用已有的定義和基本性質(zhì),可以得出模剩余環(huán)的更一般的一些性質(zhì).①　模剩余環(huán)是交換環(huán).②　在模剩余環(huán)中,所有左右零因子都是其零因子.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案①　模剩余環(huán)是無(wú)零因子環(huán)的充分必要條件是為素?cái)?shù).②　設(shè)為無(wú)零因子環(huán)(模大于1),那么加群中每一個(gè)非零元素的階必相同.③　模剩余環(huán)為整

5、環(huán)的充分必要條件是為素?cái)?shù).④　對(duì)于,(1)是特征為的有單位元的可換環(huán);(2)環(huán)是域?yàn)樗財(cái)?shù).⑤　模剩余類環(huán)的所有子群(對(duì)加法)是循環(huán)子群.例：設(shè),若,,則.證明:因?yàn)?故,從而有整數(shù)使,如果,則由上式可知,是與的一個(gè)公因數(shù),這與矛盾.因此.2.4群與其子群有相同的單位元，環(huán)與其子環(huán)有相同的零元，但子環(huán)不一定有單位元.例如是的子環(huán)，無(wú)單位元，而且子環(huán)即使有單位元，單位元也不一定與環(huán)的單位元相同，與都是的子環(huán)，但的單位元是，的單位元是，它們都與的單位元不同.2.5是素?cái)?shù)的充要條件是模的剩余類環(huán)是域.它的每個(gè)非零元都是可逆元，

6、全體非零元關(guān)于環(huán)的乘法組成一個(gè)階的群.由域是整環(huán)以及易證：當(dāng)是素?cái)?shù)時(shí)，（）是整數(shù)環(huán)的素理想，也是整數(shù)環(huán)的極大理想，事實(shí)上，有是含幺交換環(huán)，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案的理想（)是素理想是整環(huán)是素?cái)?shù)，由是含幺交換環(huán)，的理想（)是極大理想是域?yàn)樗財(cái)?shù).另外，由域的特征數(shù)是素?cái)?shù)且是一個(gè)素?cái)?shù).任意一個(gè)素域的特征數(shù)或者為0或者為素?cái)?shù)，當(dāng)為0時(shí)，，當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，.3的子環(huán)、域、零環(huán)3.1定義設(shè)是正整數(shù)，是素?cái)?shù)，是模的剩余類環(huán)，是的子環(huán).我們將得到如下結(jié)果：（1）設(shè)，，則是有零因子無(wú)單位元的環(huán)；（2）設(shè)，當(dāng)，則是域，當(dāng)時(shí)，是零環(huán).（3）設(shè)，，則

7、是有零因子無(wú)單位元的環(huán).3.2命題證明命題3.2.1當(dāng)，其中是素?cái)?shù)時(shí)，則的階子環(huán)是含零因子無(wú)單位元的環(huán).證明的階子環(huán)，（1)當(dāng)時(shí)，，則，所以是無(wú)單位元的零元.（2)當(dāng)時(shí)，取，，，是有零因子的環(huán)下證是無(wú)單位元的環(huán)設(shè)有單位元，，，有，即,得到精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案取，則因?yàn)樗远徽使什皇钦麛?shù)，無(wú)單位元.命題3.2.2若，是素?cái)?shù)，是大于1的正整數(shù)，當(dāng)時(shí).的階子環(huán)是域；且；當(dāng)時(shí)，的階子環(huán)是零環(huán).證明的階子環(huán)（1）當(dāng)時(shí)，所以是零環(huán).（2）當(dāng)時(shí)，若，只要時(shí)，，所以有，即是無(wú)零因子環(huán)，又有限，所以是域.設(shè)是的單位元，則，有即，取

8、，得.因?yàn)闉檎麛?shù)，只要適當(dāng)選取使為整數(shù)，即可求得單位元.命題3.2.3設(shè)，其中是合數(shù)，，則的階子環(huán)是含零因子的無(wú)單位元的環(huán).證明因是合數(shù)，設(shè)，的階子環(huán)，取，，則，故含有零因子.設(shè)有單位元，,精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案有，即，（1)設(shè)時(shí)，在取，，如有整數(shù)解，即整數(shù)方程中有整數(shù)解，所以方程有整數(shù)解的充要條件為，與假設(shè)矛盾，所以無(wú)單位元.（2