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《模n的剩余類(lèi)環(huán)的單位群U_Z_n_》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第10卷第4期南通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol.10No.42011年12月JournalofNantongUniversity(NaturalScienceEdition)Dec.2011模n的剩余類(lèi)環(huán)的單位群U(Z)n居騰霞,王立周(南通大學(xué)理學(xué)院,江蘇南通226007)摘要:利用初等數(shù)論中單位群U(Z)的結(jié)構(gòu)定理,證明了對(duì)于模n的剩余類(lèi)環(huán)Z,非單位元的階均為2的單位nn群有且僅有U(Z),U(Z),U(Z),U(Z),U(Z),U(Z);非單位元的階均為其他素?cái)?shù)p(p>2)的單34681224位群不存在;非單位元的階均為2的某個(gè)方冪的單位群有U(Zaa1al),其中a,a是非負(fù)整
2、數(shù),且0≤a≤1,每2p…pii1l2個(gè)p為費(fèi)馬素?cái)?shù).最后利用單位群討論了二次同余方程x≡1(modn)的解的個(gè)數(shù).i關(guān)鍵詞:?jiǎn)挝蝗?;剩余?lèi)環(huán);循環(huán)群;歐拉函數(shù);費(fèi)馬素?cái)?shù)中圖分類(lèi)號(hào):O152.2;O156.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1673-2340(2011)04-0083-05UnitGroupsofRemainderClassRingsModuleU(Z)nJUTeng-xia,WANGLi-zhou(SchoolofSciences,NantongUniversity,Nantong226019,China)Abstract:Thispaperusesthestructuret
3、heoremofunitgroupsU(Z)ofnumbertheorytoshowthattheunitgroupsofnremainderclassringsZofwhichallthenon-identityelementshaveorder2,are,U(Z),U(Z),U(Z),U(Z),n3468U(Z)andU(Z);theunitgroups,ofwhichallthenon-identityelementshaveorderprimep(p>2),don′texist;the1224unitgroups,ofwhichallthenon-identityelement
4、shaveorderpowersof2(notnecessarilysame),areU(Zaa1al),2p…p1lwhereandarenon-negativeintegers,0≤a≤1and,p,…,pareFermatprimes.Thispaperalsousesuniti112groupstodiscussthenumberofsolutionsofquadraticcongruencex≡1(modn).Keywords:unitgroup;remainderclassring;cyclicgroup;Eulerfunction;Fermatprime設(shè)Z是模n的剩余類(lèi)
5、環(huán)[1]的單位群U(Z,[a]∈Z,若堝[b]∈)進(jìn)行了討論,從而得出只有當(dāng)n=nnnZn,滿(mǎn)足[a][b]=[1],其中[1]為Zn的單位元,則稱(chēng)3,4,6,8,12,24時(shí),單位群U(Zn)的全體非單[a]為Z的一個(gè)單位(事實(shí)上[a]是Z的可逆元).Z位元的階均為2.文獻(xiàn)[3]討論了n取何值時(shí),剩余nnn中全體單位構(gòu)成的群稱(chēng)為單位群,記作U(Z).類(lèi)環(huán)Z的單位群U(Z)的階為2pq,其中p,q是nnn文獻(xiàn)[2]根據(jù)初等數(shù)論的基本知識(shí)對(duì)剩余類(lèi)環(huán)Z給定的素?cái)?shù).本文利用單位群U(Z)的結(jié)構(gòu)定理nn收稿日期:2011-08-27基金項(xiàng)目:南通大學(xué)博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目(09B01)作者簡(jiǎn)介:居騰
6、霞(1972—),女,副教授,博士,主要從事Hopf代數(shù)學(xué)的研究.E-mail:jtx@ntu.edu.cn·84·南通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2011年直接得出文獻(xiàn)[2]中的結(jié)論.另外,我們還考慮了證明:(a,n)=1,所以[a]∈U(Z).設(shè)[a]的階n以下問(wèn)題:φ(n)為m,由文獻(xiàn)[2]得m‖U(Z),則mφ(n),[a]=n1)非單位元的階均為素?cái)?shù)p(p>2)的單位群φ(n)[1],所以a≡1(modn).證畢.U(Z)有哪些?n定理3[4,6-7]設(shè)G是n階循環(huán)群,則G的任一2)非單位元的階均為2的某個(gè)方冪的單位群+子群仍是循環(huán)群,且若r∈Z是n的因子,則G有U(Z)有哪些?n
7、且僅有一個(gè)r階子群.23)U(Zn)中2階元與同余方程x≡1(modn)+推論2對(duì)于循環(huán)群Z,若r∈Z,且rn,n的解之間有什么聯(lián)系?則必存在[a]∈Z,使得[a]的階(對(duì)于加法而言)為r.n1預(yù)備知識(shí)定理4[8](U(Z)的結(jié)構(gòu)分解定理)設(shè)正整n定義1[4]自然數(shù)集N上的歐拉函數(shù)φ(n)表示aa1al數(shù)n的素?cái)?shù)分解形式為n=2p…p,a,a是非1liS={1,2,…,n}中與n互素的數(shù)的個(gè)數(shù).負(fù)整數(shù),且素?cái)?shù)p依次增大,i=1,2,…,l,則i