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《模n的剩余類環(huán)的單位群U_Z_n_》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第10卷第4期南通大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）Vol．10No．42011年12月JournalofNantongUniversity（NaturalScienceEdition）Dec．2011模n的剩余類環(huán)的單位群U（Z）n居騰霞，王立周（南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通226007）摘要：利用初等數(shù)論中單位群U（Z）的結(jié)構(gòu)定理，證明了對于模n的剩余類環(huán)Z，非單位元的階均為2的單位nn群有且僅有U（Z），U（Z），U（Z），U（Z），U（Z），U（Z）；非單位元的階均為其他素數(shù)p（p>2）的單34681224位群不存在；非單位元的階均為2的某個方冪的單位群有U（Zaa1al），其中a，a是非負整
2、數(shù)，且0≤a≤1，每2p…pii1l2個p為費馬素數(shù).最后利用單位群討論了二次同余方程x≡1（modn）的解的個數(shù).i關(guān)鍵詞：單位群；剩余類環(huán)；循環(huán)群；歐拉函數(shù)；費馬素數(shù)中圖分類號：O152.2；O156.1文獻標志碼：A文章編號：1673－2340（2011）04－0083－05UnitGroupsofRemainderClassRingsModuleU（Z）nJUTeng-xia，WANGLi-zhou（SchoolofSciences，NantongUniversity，Nantong226019，China）Abstract：Thispaperusesthestructuret
3、heoremofunitgroupsU（Z）ofnumbertheorytoshowthattheunitgroupsofnremainderclassringsZofwhichallthenon-identityelementshaveorder2，are，U（Z），U（Z），U（Z），U（Z），n3468U（Z）andU（Z）；theunitgroups，ofwhichallthenon-identityelementshaveorderprimep（p>2），don′texist；the1224unitgroups，ofwhichallthenon-identityelement
4、shaveorderpowersof2（notnecessarilysame），areU（Zaa1al），2p…p1lwhereandarenon-negativeintegers，0≤a≤1and，p，…，pareFermatprimes.Thispaperalsousesuniti112groupstodiscussthenumberofsolutionsofquadraticcongruencex≡1（modn）.Keywords：unitgroup；remainderclassring；cyclicgroup；Eulerfunction；Fermatprime設(shè)Z是模n的剩余類
5、環(huán)[1]的單位群U（Z，[a]∈Z，若堝[b]∈）進行了討論，從而得出只有當n=nnnZn，滿足[a][b]=[1]，其中[1]為Zn的單位元，則稱3，4，6，8，12，24時，單位群U（Zn）的全體非單[a]為Z的一個單位（事實上[a]是Z的可逆元）.Z位元的階均為2.文獻[3]討論了n取何值時，剩余nnn中全體單位構(gòu)成的群稱為單位群，記作U（Z）.類環(huán)Z的單位群U（Z）的階為2pq，其中p，q是nnn文獻[2]根據(jù)初等數(shù)論的基本知識對剩余類環(huán)Z給定的素數(shù).本文利用單位群U（Z）的結(jié)構(gòu)定理nn收稿日期：2011-08-27基金項目：南通大學(xué)博士啟動基金項目（09B01）作者簡介：居騰
6、霞（1972—），女，副教授，博士，主要從事Hopf代數(shù)學(xué)的研究.E-mail:jtx@ntu.edu.cn·84·南通大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2011年直接得出文獻[2]中的結(jié)論.另外，我們還考慮了證明：（a，n）=1，所以[a]∈U（Z）.設(shè)[a]的階n以下問題：φ（n）為m，由文獻[2]得m‖U（Z），則mφ（n），[a]=n1）非單位元的階均為素數(shù)p（p>2）的單位群φ（n）[1]，所以a≡1（modn）.證畢.U（Z）有哪些?n定理3[4，6-7]設(shè)G是n階循環(huán)群，則G的任一2）非單位元的階均為2的某個方冪的單位群+子群仍是循環(huán)群，且若r∈Z是n的因子，則G有U（Z）有哪些?n
7、且僅有一個r階子群.23）U（Zn）中2階元與同余方程x≡1（modn）+推論2對于循環(huán)群Z，若r∈Z，且rn，n的解之間有什么聯(lián)系?則必存在[a]∈Z，使得[a]的階（對于加法而言）為r.n1預(yù)備知識定理4[8]（U（Z）的結(jié)構(gòu)分解定理）設(shè)正整n定義1[4]自然數(shù)集N上的歐拉函數(shù)φ（n）表示aa1al數(shù)n的素數(shù)分解形式為n=2p…p，a，a是非1liS={1，2，…，n}中與n互素的數(shù)的個數(shù).負整數(shù)，且素數(shù)p依次增大，i=1，2，…，l，則i
