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1、摘要本文一共五章。第一章介紹一些圖論的基本概念和控制參數的預備知識。然后，我們分別對笛卡爾乘積圖的成對控制數，強全控制邊臨界圖，以及樹的上控制數這三個問題進行研究。最后，我們總結本文的主要結果，并提出幾個有待繼續(xù)研究的問題。記飾(G)和助(G)分別為圖G的成對控制數和成對Ixlc．king數．記GOlf為圖G和圖H的笛卡爾乘積。稱圖G為(辦，飾)一圖，如果砌(G)=飾(G)。在第二章，我們證明了，對于任意的不含孤立點的圖G和圖日，其中至少一個是不舍三角形的協，饞)-圖，有飾(G)飾(日)≤2飾(G口日)。進一步在一般情況下
2、，我們證明了，對于任意的不含孤立點的圖G和圖日，有鈾(G)飴(J!r)≤7飾(G口H)。不含孤立點的圖G，如果它的任意兩個不相鄰頂點u，口，有7t(G+t‘v)<乍(G)，則圖G是全控制邊臨界的，簡稱竹臨界。"Yt．臨界圖G，如果對任意頂點u∈y(G)存在G的一個基數為饑(G)一1的控制集D，使得u∈D且G[D1除"外不含孤立點，則圖G是強∞．臨界的。在第三章，我們研究了竹l臨界圖和強7t-l臨界圖的性質，并給出了一個構造強竹臨界圖的方法．記7(G)和rcc)分別為圖G的控制數和上控制數。在第四章，我們給出了一個確定樹?上
3、控制集的算法，并利用該算法分別刻劃了滿足條件7∽+r(∞=n和7(T)=r口)的樹。AbstractInthisthesiswediscussthreeproblemsaboutdominationparametersofgraphs．Itconsistsoffivechapters．Inthefirstchapter，weintroducesomefovn-dationalpropertiesofgraphsanddominationparametersusedinourdisetmsions．Thenwediscuss
4、paireddominationofCartesianproducts，strongly7t-critical，up-perdominationoftrees，respectively．Inthelastchapter，wesummarizethemainresultsinthisthesis，andgive80meproblemstobestudiedfurther．Let％(G)，一(G)denotethepaireddominationnumberandthepairedpackingnumberofagraphG．
5、respectively．LetG口HdenotetheCartesianproductofgraphsGand日．AgraphGiscalleda(偉，％)一graphif乃(G)=飾(G)．Inthesecondchapter，weshowthatforanygraphsGandHwithoutisolatedvertex，atleastoneofwhichisatrianglefree(昂，飾)-graph，that佛(G)％(日)≤2飾(G口日)．Furthermore，weprovethat％(G)飾(日)≤7％
6、(G口日)foranygraphsGand日withoutisolatedvertex．AgraphGwithoutisolatedvertexi8totaldominationedgecriticalifforanynon-adjacentpairofverticest‘and口，m(G+伽)<饑(G)，called7t-critical．Am—criticalgraphGisstrongly-),t-criticalifforanyvertex口∈y(G)thereisadominating8etDofGwithcar
7、dinalitym(G)一1suchthatt，∈DandG【D】hasnoisolatedvertexexceptfor仉Inthethirdchapter，westudythepropertiesof價criticalgraphsandstrongly7t-criticalgraphs，andpresentamethodofconstructingstronglycriticalgraphs．Let，y(G)，r(G)denotethedominationnumberandtheupperdominationnumbe
8、rofagraphG，respectively．Inthefourthchapter，wegiveaalgorithmtofindanupperdominatingsetofatreeZthencharacterizethetreeswith，y口)+r(T)=行and7(研=r(T)，respecti
