【碩士論文】非線性常微分方程邊值問題的正解.pdf

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1、曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文非線性常微分方程邊值問題的正解摘要非線性泛函分析作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，因其能很好的解釋自然界中各種各樣的自然現(xiàn)象受到了越來越多的數(shù)學(xué)工作者的廣泛關(guān)注．其中，非線性邊值由于在物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、航天、生物等領(lǐng)域有著廣泛而重要的應(yīng)用，是目前分析數(shù)學(xué)中研究最為活躍的領(lǐng)域之一．本文的目的是在半序理論的基礎(chǔ)上，利用非線性泛函分析方法研究Banach空間中奇異半正微分方程邊值問題正解的存在性及無窮區(qū)間上常微分方程邊值問題正解的存在性．經(jīng)過深入的研究我們得到了一些新成果，其中一篇已在《高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》發(fā)表，另一篇已被《應(yīng)用泛函分析

2、學(xué)報(bào)》錄用．根據(jù)內(nèi)容本文分為以下四章：．第一章是本文的緒論部分．主要介紹了本文的研究課題．第二章我們對(duì)具有深刻應(yīng)用背景的奇異半正問題進(jìn)行研究．第一節(jié)研究了一類二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)盧<71．2的四階奇異半正邊值問題，采用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理結(jié)合平移變換，得到了其C2[o，1】nc4(o，1)正解存在的一個(gè)判定方法，并進(jìn)一步改進(jìn)和推廣了有關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果．第二節(jié)考慮下列邊值問題正解的存在性l一∥(t)-4-pCt)u(t)=≯(t)，(t，t‘(t))，0

3、點(diǎn)指數(shù)定理，得到了該邊值問題正解存在的一個(gè)定理．第三章則對(duì)無窮邊值問題的正解進(jìn)行研充．并得到了一些新的結(jié)果．并給出了解決這類問題的一種新方法．第一節(jié)通過構(gòu)造特殊的錐，利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理，同時(shí)考慮無窮區(qū)間的情況，同樣獲得判定奇異Sturm-liouville邊值問題砩[o，+oo)正解的存在的一種方法．第二節(jié)考慮了一類奇異無窮區(qū)間邊值問題的正解，其中f∈c(【0，+。o)×【0，+oo)×(一∞，o)，【0，+o。))，，可在t=o，pu7=0墮皇墮堇盔堂墮主堂垡堡塞——處奇異，同時(shí)考慮無窮區(qū)間的情況，這是以往文章所沒有涉及到的．為了克服上述弱化，

4、條件所帶來的困難，我們利用非線性備擇性定理來證明本文中的主要結(jié)果．關(guān)鍵詞：微分方程；邊值問題；正解；半正；無窮區(qū)間；錐第一章緒論非線性泛函分析是分析數(shù)學(xué)中既有深刻理論又有廣泛應(yīng)用的研究學(xué)科，它以數(shù)學(xué)和自然科學(xué)中出現(xiàn)的非線性問題為背景，建立處理非線性問題的若干一般性理論和方法．因其能很好的解釋自然界中的各種各樣的自然現(xiàn)象，近年來受到了國內(nèi)外數(shù)學(xué)及自然科學(xué)界的高度重視，逐漸形成了一門重要的學(xué)科．二十世紀(jì)以來，非線性泛函分析的發(fā)展取得了重大得突破．首先Banach壓縮映象原理、Leray—Schauder拓?fù)涠壤碚摗⒊橄箦F的不動(dòng)點(diǎn)理論、臨界點(diǎn)理論的提出

5、，促進(jìn)了非線性常微分方程、偏微分方程各種問題得到研究．郭大鈞先生在專著[1—41中利用錐理論討論了多種非線性問題，主要是近幾十年來發(fā)展起來的一些最新結(jié)果，諸如某些典型的非線性算子，Sammersteln積分方程，常，偏微分方程，遷移方程，錐理論及非線性算子方程的正解，非線性算子拓?fù)涠群筒粍?dòng)點(diǎn)定理以及固有值，解的個(gè)數(shù)與分支，都作了系統(tǒng)的概括和總結(jié)．由于無窮維空間框架中，處理分析學(xué)的非線性問題的方式有著無窮的潛力，近年來，非線性泛函分析已經(jīng)成為研究數(shù)學(xué)、物理、航空航天技術(shù)、生物技術(shù)中非線性問題的一個(gè)重要的工具．邊值問題由于在物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、航天、生

6、物等領(lǐng)域有著廣泛而重要的應(yīng)用，是目前分析數(shù)學(xué)中研究最為活躍的領(lǐng)域之一．其中有限區(qū)間上的邊值問題，圍繞非線性項(xiàng)非負(fù)的情況(Positone問題)，許多著名的數(shù)學(xué)家用非線性泛函分析中的拓?fù)涠壤碚?、臨界點(diǎn)理論、半序方法、上下解方法、不動(dòng)點(diǎn)理論、迭合度理論、單調(diào)迭代方法等理論和方法，對(duì)此問題進(jìn)行了深入的研究，得到了許多新結(jié)果【5．10】．無窮區(qū)間上的邊值問題所得到的結(jié)果卻較少，無窮區(qū)間上常微分方程邊值問題實(shí)際上來源于對(duì)非線性橢圓型偏微分方程徑向?qū)ΨQ解的研究，雖然對(duì)Stur-Liouville微分方程在無窮區(qū)間上的邊值問題的研究已經(jīng)有了很大的發(fā)展，但是對(duì)于

7、一般的微分方程仍存在很多實(shí)際問題有待于進(jìn)一步解決．另外，對(duì)半正的情況，到目前為止，仍沒有十分有效的解決方法．就我們所知，對(duì)奇異半正問題的研究工作較少．所以，運(yùn)用幾十年來非線性分析中發(fā)展起來的多種先進(jìn)的分析工具，來研究非線性奇異半正常微分方程邊值問題或無窮邊值問題，是一個(gè)具有濃厚興趣并可獲取有意義的新成果的研究課題．第二章奇異半正邊值問題正解的存在性§2．1四階奇異半正邊值問題正解的存在性§2．1．1引言某些兩端固定的彈性梁在受力作用后形變的物理過程常用四階兩點(diǎn)邊值問題Ju(4)(t)+觸Ⅳ(￡)=f(t，u(蛾0

8、Ⅳ(o)=uⅣ(1)=0來描述．關(guān)于此問題正解的存在性，文[11】在，∈c((o，1)×[0，+∞)，[0，+。。))的條件下進(jìn)行過探討