數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用

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1、目錄0引言11以“數(shù)”化“形”21.1利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題21.2利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集31.3利用兩點間距離公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題32以“形”變“數(shù)”42.1用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問題43“形”“數(shù)”互變63.1數(shù)軸在有理數(shù)化簡中的應(yīng)用63.2利用三角函數(shù)圖象求角度73.3利用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問題7結(jié)論9致謝9參考文獻第11頁共10頁數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用提綱1以“數(shù)”化“形”1.1利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題1.2利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集1

2、.3利用兩點間距離公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題2以“形”變“數(shù)”2.1用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問題3“形”“數(shù)”互變3.1數(shù)軸在有理數(shù)化簡中的應(yīng)用3.2利用三角函數(shù)圖象求角度3.3利用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問題。第11頁共10頁數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用摘要：數(shù)形結(jié)合法是解決數(shù)學問題中最基本、也最常用的思想方法。本文就中學數(shù)學中的不等式、集合、函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容，舉例闡述數(shù)形結(jié)合法在解題中的三點應(yīng)用。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；中學數(shù)學；應(yīng)用；解決問題引言做事情，如果想要事半功倍，就必須講究方法，其實，何止事半功倍，有時方

3、法甚至起到了決定性的作用，缺乏有效的方法，不僅談不上效率，而且問題不能解決，事情也就根本不能成功，數(shù)形結(jié)合法對解決某些數(shù)學問題就起到了決定性的作用，如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。我國著名的數(shù)學家華羅庚曾精辟地概括了數(shù)形結(jié)合法的內(nèi)涵：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊分，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合萬般好，割離分家萬事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離！可見，數(shù)與形存在著十分密切的聯(lián)系。其實，在中學數(shù)學中，有很多內(nèi)容就是集“數(shù)”“形”于一身的良好載

4、體，例如：函數(shù)、解析幾何等等，本文試從中學數(shù)學中的有理數(shù)、不等式、集合、三角函數(shù)、函數(shù)及其圖象、平面幾何、解析幾何內(nèi)容方面，舉例說明數(shù)形結(jié)合法在中學數(shù)學解題中的三點應(yīng)用：（1）以“數(shù)”化“形”；（2）以“形”變“數(shù)”；（3）“形”“數(shù)”互變。1以“數(shù)”化“形”第11頁共10頁在中學數(shù)學中的代數(shù)內(nèi)容主要是數(shù)字和文字的運算，如：加法、減法、乘法、除法、乘方、開方，這些概念、法則、算律都比較抽象，運算有時很繁瑣，讓人難以把握。而“形”具有形象、直觀的優(yōu)點，因此，在思考和解決問題時，對于某些從表面上看來與圖形不相關(guān)的概念和問題，有

5、時可以從某種特定的角度，畫一個草圖、圖像或者示意圖把這種數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，并通過對圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問題。1.1利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素。例1某班舉行數(shù)理化三科競賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學競賽的有27人，參加物理競賽的有25人，參加化學競賽的有27人，其中參加數(shù)學、物理兩科的有10人，參加物理、化學兩科的有7人，參加數(shù)學、化學兩科的有11人，而參加數(shù)、理、化三科的有4人，求全班人數(shù)?思路分析：由于參加數(shù)、

6、理、化三科競賽人數(shù)相互交叉，不易理清參加三科競賽的各科人數(shù)，利用韋恩圖可以比較容易地分清它們的關(guān)系。解：設(shè)參加數(shù)學、物理、化學競賽的人構(gòu)成的集合分別為A、B、C，由圖知全班人數(shù)為：10+12+13+7+3+6+4=55（人）.由于敘述太長，單純從文字語言不好理清思路，畫出韋恩圖，可以利用圖形直觀性進行計算。第11頁共10頁1.2利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集時，只要聯(lián)想到對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象確定拋物線的開口方向和與x軸的交點情況，便可直接看出解集。例2解不等式x2-x-6﹥0.思路分析：我們

7、可先聯(lián)想到對應(yīng)的二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象，從x2-x-6=0解得x1=-2,x2=3,由解知該拋物線與x軸交點的橫坐標為-2,3.當取交點兩側(cè)時，即x﹤-2或x﹥3時，y﹥0，即x2-x-6﹥0，故可得不等式的解集為{x∣x﹤-2或x﹥3}.1.3利用兩點間距離公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題例3求函數(shù)y=+的最小值.思路分析：觀察式子，可發(fā)現(xiàn)從代數(shù)的角度求解，難度較大，這時利用數(shù)形結(jié)合法，巧用兩點間距離公式可化為：+=+，令A（0,1），B（2,2），P（x，0），則問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點P，使∣PA∣+∣PB∣有最

8、小值.如圖由于AB在x軸同側(cè)，故取A關(guān)于x軸的對稱點C（0，-1）,所以：（∣PA∣+∣PB∣）min=∣CB∣==,即函數(shù)y=+的最小值是.第11頁共10頁通過以上三個例題可以看出利用圖形來輔助數(shù)的計算使問題變得簡單明了，而且能開闊思路。對于“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”這類問題，解決問題的基本思路是：①明確題中